Анализ систем автоматического управления

1.Исследование линейной непрерывной системы автоматического управления

Задание:

1) Найти передаточную функцию разомкнутой системы W(s) и передаточную функцию замкнутой системы Ф(s), ;

2) Построить область устойчивости системы в плоскости общего коэффициента передачи К = К1К2К3 и постоянной времени Т2 при заданных значения Т1 и Т3. Найти граничное значение при заданном значении Т2, при котором система выходит на границу устойчивости.

3) Построить графики логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик L(w) и φ(w) при значении коэффициента передачи K=0,7K’.

4) Оценить запасы устойчивости по модулю ∆L и фазе ∆ φ, величину ошибки по скорости еск при v(t) = v1t и f= 0, время переходного процесса tp и перерегулирование σ в исходной системе при K=0,7K’.

5) Если исходная система не удовлетворяет заданным в таблице 1 показателям качества tp, σ, еск (хотя бы одному из них) или имеет малые запасы устойчивости, то провести коррекцию системы (последовательного или параллельного типа) и найти передаточную функцию корректирующего устройства.

6) Вычислить в скорректированной системе переходный процесс на выходе y(t) при подаче на вход единичной ступенчатой функции v(t)=1(t)( f= 0). Найти tp, σ по переходному процессу и сравнить их с требуемым по заданию.

Исходные данные:

Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ представлена на рис. 1.1, где v(t)- управляющее воздействие, (f)- возмущающее воздействие, е(t)- сигнал ошибки, y(t)- выходной сигнал. Значения параметров Т1 Т2, Т3 заданы в табл. 1. Размерность Т1 Т2, Т3 в секундах, общий коэффициент передачи К = К1К2К3 имеет размерность 1/с, в табл. 1 заданы также желаемые показатели качества системы: максимальная ошибка по скорости еск при скачке по скорости v(t) = v1t и f= 0, время переходного процесса tп.п в секундах, и перерегулирование у в процентах.

Таблица 1. Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ

Рисунок 1.1

Выполнение:

1. Требуемые передаточные функции находят с использованием правил структурных преобразований. Коротко сформулируем основные правила:

— Передаточные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются.

— Передаточные функции параллельно соединенных звеньев складываются.

Передаточная функция системы с обратной связью - это передаточная функция замкнутой системы, которая определяется по формуле:

(по условию)

Передаточная функция разомкнутой системы W(s) = Y(s)/U(s) при f= 0, e = u (т.е. разомкнута главная обратная связь) определится выражением:

где обозначим К = К1К2К3,

0,03135

1,12127

5,223

Главная передаточная функция или передаточная функция замкнутой системы при f = 0:

Передаточная функция по ошибке при f= 0, которая позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии:

Передаточная функция по возмущению при и = 0 позволяет выразить влияние возмущения на выходной сигнал:

2. . Передаточная функция разомкнутой исходной системы имеет вид W(s) = K/sL(s), где L(s) = (T1s+1)(T2s +1)(T3s+1). Характеристическое уравнение замкнутой системы будет D(s) = K+L(s)s = b0s4 +b}s3 +b2s2 +b3s + b4 =0, где при заданных из таблицы исходных данных числовых значениях Т1 и Т3 коэффициенты bj будут зависеть от параметров К и Т2. Применение критерия Гурвица к характеристическому уравнению четвертого порядка дает следующие условия устойчивости:

b3(b1b2-b0b3)-b4b12 > 0, b, > 0, i = 0, .,4.

Приравнивая в написанных соотношениях правые части нулю, найдем зависимость К от Т2 и построим в плоскости К и Т2 границы устойчивости, ограничивающие некоторую область устойчивости. При заданном параметре Т2 находим граничное значение КГР коэффициента передачи К.

К = К1К2К3

b0==0,165=с0

5,033с0

b3=1 b4=K

Выразим К через параметр Т2:

Зависимость К(Т2) приведена на рис. 1.2

Рис.1.2

Kгр=KT2=0.19=4,633

3. Полагая К = 0.7КГР, записываем аналитическое выражение для φ(w)= argW(jw), L(w) = 20lg|W(jw)| из W(s) при s = jw.

К=0.7Кгр= 3,243

Передаточную функцию разомкнутой системы можно записать в виде:

где

тогда:

где

Строим графики логарифмических характеристик разомкнутой системы, с помощью MATLAB (оператор bode или margin) Рис. 1.3 а.

Рис. 1.3а

Строим график АФЧХ с помощью MATLAB (оператор nyquist) рис. 1.3 б для разомкнутой системы.

Рис 1.3 б

Запасы устойчивости по модулю и фазе определяются по логарифмическим характеристикам (см. рис. 1.3 а): на частоте среза wс определяется запас по фазе —∆φ, а запас по амплитуде ∆L - на частоте при которой φ(w) = -180. Таким образом, ∆L≈0. 1дБ, ∆φ≈ 0°, что является недостаточным.

4. Величина ошибки по скорости определяется как eск=V1/K. Для ориентировочной оценки tпп и σ следует построить переходной процесс h(t) (оператор step в MATLAB) при v(t) = 1[t] и по нему определить tпп и σ.

Для получения уравнений состояний в нормальной форме используем дифференциальное уравнение замкнутой системы

D(s)y(t)=Kv(t). Если D(s)=b0s4+b1s3+b2s2+b3s+b4=0, ,то уравнение состояния имеет вид

Для описания динамических систем в пространстве состояний в Matlab применяются модели подкласса ss, которые основаны на линейных дифференциальных или разностных уравнениях.

Модель непрерывной системы в подклассе ss имеет вид:

где: х - вектор состояния; v- вектор входа; у - вектор выхода.

Для формирования моделей в подклассе ss предназначена функция ss

sys=ss(A,B,C,D)

В результате под именем sys получаем ss-объект с числовыми характеристиками в виде четверки матриц {А, В, С, D}, которые должны иметь согласованные размеры. Матрицу D в данном случае полагаем равной 0.

Для построения переходного процесса h(t) воспользуемся оператором step в MATLAB.

Реализация функций имеет вид:

sys=ss([0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-b4/b0 -b3/b0 -b2/b0 -b1/b0],[0 0 0 K/b0]', eye(4), zeros(4,1))

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

x3 0 0 0 1

x4 -104.6 -32.26 -168.5 -36.16

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 104.6

c =

x1 x2 x3 x4

y1 1 0 0 0

y2 0 1 0 0

y3 0 0 1 0

y4 0 0 0 1

d =

u1

y1 0

y2 0

y3 0

y4 0

Continuous-time model.

>> step(sys)

В результате получим графики представленные на рис. 1.4. Нас будетинтересовать Out(l). Величина ошибки по скорости определяется как:

еск=V1/K = 1,4/3,243 = 0,432>ескзад = 0,04.

Для ориентировочной оценки tnn и о следует построить переходной процесс h{t) (оператор step в MATLAB) при v(t)=1(t) и по нему определить tпп и σ. Эти величины из графика Out(l) определяются следующим образом:

Время переходного процесса определяется с учетом следующих соотношений: εуст=v(t)/(l+K), где v(t)=l[t], а К=3,243 - общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда еуст= 1/(1+3,243)=0,236 и следовательно tпп из графика Out(l) tпп ≈50с > tппзад = 2.5с.

Рис 1.4

Таким образом, исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать.

5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать. В случае применения частотных методов синтеза коррекции строится желаемая ЛАЧХ Lж(w). В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/s в системе) требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношения Kz=v1/eск=1,4 / 0.04 = 35. На частоте среза желательно иметь наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далее среднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой с наклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемой и исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать.

Учет требований качества переходного процесса: tпп и σ, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области Lж(w). Здесь можно воспользоваться графиком (рис. 1.5).

Рис 1.5

По графику рис. 1.5 для заданных значений у и tnn находим wп, и затем из соотношения wc = (0.6 - 0.9) wп, частоту среза wc.

В наше случае: (как показано на рис.1.5) для у =10%, tр=3π/ωп ,откуда для tр значение ωп= 3π/1,5=6,8 1/с и ωc=5 1/с.

Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.6) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на 20 дБ/дек (протяженность участка около декады). Тогда, выберем L2≈10дБ на частоте ω2=(0.1-0.5)ωс=2.5<ωс=5 и L3≈ -10 дБ на частоте ω3=25 ≥ ωс=5. Введем обозначения:

Величину ω1 найдем из условия равенства значений Lж(ω1)=Lисх(ω1). Это

соотношение приводит к следующему выражению:

В последнем выражении обозначено:

ω’=0.1w2

L’(ω’)=50 дБ

L’(ω2)=10 дБ

L(ω3p)=L(0.476)=21,18 дБ

L(ω2)=L(1.2)=-35,743 дБ

Последние две величины находятся из выражения для Lисх(w).

Найденное по формуле значение ω1=0.098

ЛАЧХ корректирующего устройства с характеристикой Lk(w) соответствует функция:

где:

Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид:

Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где z и р - векторы из нулей и полюсов, a Kd - обобщенный коэффициент передачи, sys - любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlab примет вид:

sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)

Zero/pole/gain:

58.2 (s+2.5) (s+0.4762)

-------------------------------------------------

s (s+7.143) (s+4.167) (s+25) (s+0.4762) (s+0.097)

Рис. 1.6

6. Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд:

>>sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)

Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl - находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. при такой последовательности команд не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя. В тоже время на результат дальнейшего расчета это не влияет).

>>Zam_ck=inv(1+sys1)*sys1

Переходная характеристика (рис. 1.7 ) находится с помощью функций: 0,05

Из рассмотрения рис. 1.7 видно, что параметры по заданию выполняются.

Рис 1.7

Для устранения неоптимальности записи в Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl можно в диалоговом режиме произвести новую запись zpk(.) - сокращая одинаковые элементы числителя и знаменателя в Zam_ck.

2.Исследование линейной импульсной системы автоматического управления

Задание:

1) Найти передаточные функции импульсной САУ: W*(z) разомкнутой системы, Ф*(z) – замкнутой системы, Фе*(z) – системы по ошибке. Параметры Т, Т1, τ1, К0, γ входят в выражения передаточных функций в общем виде, т. е. в буквенном виде. Знак «*» будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.

2) Найти интервал изменения коэффициента передачи К0, при котором система будет устойчива: K0”≤K0≤K’. Для дальнейших исследований выбрать значение K0=0.5K0’

3) Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы L*(λ) и φ*(λ) при заданных значениях Т, Т1, τ1, γ и выбранном K0. По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю ∆L* и фазе ∆φ*.

4) Определить ошибку системы по скорости еск при входном воздействии v(t)=t (скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок с0 и с1.

5) Вычислить переходной процесс в системе при воздействии v(t)=1[t] (скачок по положению.

Исходные данные:

Таблица 2. Анализ одноконтурного замкнутого импульса

Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью τ=γТ, где Т -период дискретизации, 0≤γ≤1. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 2. Передаточная функция непрерывной части имеет вид:

Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией:

Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т1, τ -постоянные времени имеют размерность секунды, К0 - коэффициент передачи НЧ имеет размерность сек-1 и выбирается далее.

Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы

1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W*(z) находим передаточную функцию приведенной непрерывной части:

К W(s) применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы W*(z) = Z{W (s)}. Преобразуем W0(s) к виду:

Представим W0(s) в виде суммы двух слагаемых

Применим к W0(s) Z-преобразование

Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом:

где обозначено

Передаточные функции замкнутой системы находятся по выражениям:

2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы D*(z) = l + W*(z) = 0, которое для нашего случая будет иметь вид:

В соответствии с алгебраическим критерием замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств

В неравенстве при известных значениях γ, Т, τ1, Т1 входит величина К0. Таким образом, можно выделить отрезок значений К0"<К0 <К0, при которых система будет устойчива и далее принять К0 = 0.5К'0. Условия устойчивости будут:

После преобразований и возврата к старым переменным получим:

Получим 0<К0<7,112. Таким образом, принимаем К0=0.5 К0’=3,56.

1. Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W* (z) делаем замену переменной

В результате этого получим частотную характеристику W*(jλ) и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику L*(λ) = 20Lg|W*(jλ)| и фазочастотную характеристику φ*(λ)= argW*(jλ), графики которых строятся в логарифмическом масштабе.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд в MATLAB:

>> sys=tf([0.231 0.085],[1 -(1/2.71+1) 1/2.71],1)

Transfer function:

0.231 z + 0.085

---------------------

z^2 - 1.369 z + 0.369

>> sys_tr=d2c(sys,'tustin')

Transfer function:

-0.05332 s^2 - 0.1242 s + 0.4616

--------------------------------

s^2 + 0.9218 s + 2.047e-016

(опция 'tustin’ предназначена для преобразования )

Получаем выражение:

где параметры g и f видны из вышеприведенного выражения.

Рис 2.2

4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию:

В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная еск вычисляется по формуле:

и следовательно, еск=1,999.

Вычислим коэффициенты ошибок. Величина С0 =0, а коэффициент ошибки

Где передаточная функция системы по ошибке.

Тогда получим производную:

Подставив в последнее выражение найденные ранее значения и z=1, окончательно получим С1=1,999.

5. При входном воздействии вида v(k) = l[k] переходный процесс в замкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf- или zpk -форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c2d при заданном времени дискретизации T, а затем построить переходной процесс системы оператором step. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы -bode. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде:

и периодом дискретизации γT, то получим

>> w0=tf([0.3 1 0],[0.3 1 1.411]) Transfer function:

0.1 s^2 + s

-------------------

0.1 s^2 + s + 3.738

0.2

>> w1=c2d(w0,0.24)

Transfer function:

z^2 - 0.8801 z - 0.1199

------------------------

z^2 - 0.4001 z + 0.09072

Sampling time: 0.24

>> step(W1)

Рис 2.3

На рис.2.4 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретной системы с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.

Рис. 2.4

3.Исследование нелинейной непрерывной системы автоматического управления

Задание:

Используя метод гармонической линеаризации нелинейного элемента, определить на основе частотного способа возможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе, их устойчивость, амплитуду и частоту.

Исходные данные:

Структура нелинейной САУ представлена на рис. 3.1, где НЭ— нелинейный элемент, W(s) - передаточная функция непрерывной линейной части системы.

Рис 3.1

1. Передаточная функция W0(s) берется из пункта 1, как передаточная функция скорректированной системы с соответствующими числовыми коэффициентами. Нелинейный элемент НЭ имеет нелинейную характеристику u=f(e) которая для всех заданий является характеристикой идеального реле:

где с=2.

Приближенная передаточная функция нелинейного элемента для случая идеальное реле имеет вид:

где a – амплитуда искомого периодического режима, а>0.

2. На комплексной плоскости строим характеристику:

Это прямая, совпадающая с отрицательным отрезком действительной оси, вдоль которой идет оцифровка по амплитуде а0 = 0, a1, a2, …. В том же масштабе на комплексной плоскости строится АФЧХ разомкнутой системы W0(jw) при изменении частоты от 0 до + inf.

Передаточная функция скорректированной системы:

На рис.3.2 (выделен интересующий фрагмент) пунктиром отмечена АФЧХ

рис.3.2

Точка пересечения кривых (-0,165; -0j).

В точке пересечения АФЧХ W0(jw) и прямой по графику W(jw) находятся частота искомого периодического (гармонического) режима w=w*, а на прямой в точке пересечения его амплитуда а = а*. Тогда в системе существуют периодические колебания:

Приравнивая Im(W0(jw))=0 находим w*=1,065 (функция fsolve). При найденном значении частоты получим Re(W0(jw*))=-1,3. Из условия Re(W0(jw*))=находим а*=0.41.

Для определения устойчивости периодического режима можно воспользоваться следующим правилом: если при увеличении амплитуды а вдоль кривой пересечение АФЧХ W0(jw) происходит «изнутри наружу», то такой периодический режим будет устойчивым, т.е. в системе существуют автоколебания с частотой w* и амплитудой а* .

Таким образом, периодический режим будет устойчивым.

Литература

1. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2ч. Ч.1:

Линейные непрерывные системы : учеб.-метод. Пособие /В.П.Кузнецов,С.В.Лукьянец,М.А.Крупская.-Мн.:БГУИРб2007.-132с.

2. Кузнецов В.П. Линейные непрерывные системы: Тексты лекций по курсу: Теория автоматического управления.-Мн.:БГУИР,1995.-180с.

3. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.1: Линейные непрерывные системы./ В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская- Мн.:БГУИРб2006.

4. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.2:Дискретные,нелинейные, оптимальные и адаптивные системы /С.В. Лукьянец, А.Т.Доманов,В.П.Кузнецов.М.А.Крупская-Мн.:БГУИР,2007.

5. Кузнецов А.П. Линейные импульсные системы: Математическое описание: Тексты лекций по курсу «Теория автоматического управления»б-Мн.:БГУИР,1996.-70с.