Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике

На сегодняшний день нужны такие программы и учебники по математике, которые позволили бы эффективно дифференцировать усвоение материала учащимися на обязательном и углубленном уровнях. Это возможно за счёт реализации в учебных курсах различной степени полноты межпредметных и внутрипредметных связей. Усиление межпредметных и внутрипредметных связей следует рассматривать как одно из важнейших направлений дидактического совершенствования школьного курса математики.

Учет межпредметных и внутрипредметных связей при обучении способствует систематизации и углублению знаний учащихся, формированию у них навыков и умений самостоятельной познавательной деятельности, переносу знаний, полученных на более низких ступенях обучения, на более высокие ступени.

Дадим определение межпредметным и внутрипредметным связям. Связь – это взаимообусловленность существования явлений, разделённых в пространстве и (или) во времени.

Межпредметные связи играют существенную роль в обеспечении единства обучения и воспитания. Они выступают как средство усиления этого единства комплексного подхода к обучению. Совокупность функций межпредметных связей реализуется в процессе обучения тогда, когда учитель математики осуществляет все их многообразие. [10]

Внутрипредметные связи математики - это взаимосвязь и взаимообусловленность математических понятий, разделённых временем их изучения. Учёт внутрипредметных связей означает целесообразную организацию изучения взаимосвязанных понятий на определённых этапах изучения.

Внутрипредметные связи характеризуются двумя основными направлениями в осуществлении: первое направление — это направление от исходных понятий к конечным (назовём связи в этом направлении преемственными); второе направление — это направление от конечных понятий к тем начальным понятиям, через которые реализуются конечные: активное влияние конечных понятий, идей, методов на исходные понятия, идеи, методы (для удобства назовём эти связи рекурсивными). Внутрипредметные связи — объединение преемственных и рекурсивных связей, дополненное взаимосвязями между главными линиями и идеями развития данной науки.

Роль внутрипредметных связей в учебном курсе велика, они непосредственно влияют на достижение обучающей, развивающей и воспитывающей целей обучения. При этом внутрипредметные связи формируют у учащихся научное мировоззрение, помогают видеть мир в движении и развитии, способствуют установлению логических связей между понятиями, тем самым развивают логическое мышление учащихся, выступают средством предупреждения и ликвидации формализма в знаниях школьников, позволяют сформировать такую систему знаний, которая предстаёт перед учащимися не как застывшая, а как динамичная, качественно изменяющаяся, сокращают затраты учебного времени, способствуют устранению перегрузки школьников.[7]

Цель: теоретическое обоснование и практическое подтверждение целесообразности использования межпредметных и внутрипредметных связей для повышения уровня знаний учащихся по математики.

Объект исследования: учебный процесс в средней общеобразовательной школе.

Предмет исследования: методические вопросы использования межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математики.

Гипотеза: если в процессе обучения математики применять медпрежметные и внутрипредметные связи, то это будет способствовать сознательному усвоению знаний учащихся по связанным предметам и повышению качества их подготовки к этим предметам.

Задачи исследования:

1. Раскрыть сущность межпредметных и внутрипредметных связей

2. Выявить темы школьного курса математики, в которых межпредметные и внутрипредметные связи наиболее полно реализуются.

3. Составить задания, решение которых основано на применении межпредметных и внутрипредметных связей.

4. Опытным путём проверить эффективность использования межпредметных и внутрипредметных связей.

5. Подготовить методические рекомендации.

Методы исследования:

1. Изучение научно-методической литературы по рассматриваемой теме.

2. Анализ содержания школьных учебников, учебных программ по математике и физике.

3. Наблюдение за деятельностью учителя и учащихся на уроках математики и физики.

Практическая значимость: состоит в том, что разработанная методика использования межпредметных связей при обучении математике может быть использована студентами в период прохождения педагогической практики, а также учителями школ в их практической деятельности.

На основе результатов исследования подготовлены методические рекомендации по применению межпредментых и внутрипредметных связей в курсе математики.

На защиту выносятся: обоснование необходимости применения межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математики.

Цель и задачи определили структуру дипломной работы. Дипломная работа состоит из трёх глав, опытной работы и приложения.

Первая глава называется «Межпредметные связи в учебном процессе математики». В ней рассмотрен следующий материал: межпредметность – современный принцип обучения; взаимосвязь предметов естественно – математического цикла; методы осуществления межпредметной связи на уроках математики. Вторая глава «Методика реализации внутрипредметных связей». Она включает в себя: роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях; методика реализации внутри- и межпонятийных связях; взаимосвязь алгебры и начала анализа с геометрией. Третья глава «Некоторые вопросы реализации внутрипредметных связей с помощью методов преподавания». В этой главе содержится следующее: обобщающее повторении как средство реализации внутрипредметных связей, сравнение как эффективный метод реализации внутрипредметных связей, самостоятельная работа учащихся. Затем следует опытная работа и приложение.

Глава 1. Межпредметные связи в учебном процессе математики

1.1 Межпредметность – современный принцип обучения

Воспитание и обучение обусловливают качественную характеристику образования - результаты педагогического процесса, отражающие степень реализации целей образования. Результаты образования определяются степенью присвоения ценностей, рождающихся в педагогическом процессе, которые так важны для экономического, нравственного, интеллектуального состояния всех "потребителей" продукции образовательной сферы - и государства, и общества, и каждого человека. В свою очередь, результаты образования как педагогического процесса связаны со стратегиями развития образования, ориентированными на перспективу.

Задача обучения математике в образовательной средней школе – обеспечить прочное и социальное овладение учащимися математическими знаниями и навыками, нужными в повседневной жизни, достаточными для изучения других наук, для продолжения образования.

Обучение математике должно способствовать формированию у учащихся правильных представлений о природе математике, сущности и специфике ее методов, о месте математике в системе наук и ее роли в науке.

Велико значение изучения математики для общего развития учащихся, формирования у них навыков логического мышления, развития пространственных представлений, воображения, творческого мышления.

В силу чрезвычайной общности отражения реального мира математика находит широкое применение в практике и в этом смысле по своей природе является политехнической наукой. Политехническая направленность курса математики обеспечивает содержанием программы, характером изложения учебного материала и содержанием упражнений, реализацией межпредметных связей.

Межпредметные связи при их систематическом и целенаправленном осуществлении перестраивают весь процесс обучения, т. е. выступают как современный дидактический принцип.[10]

Принцип обучения — это исходное руководящее требование к содержанию и организации учебно-воспитательного процесса, вытекающее из его закономерностей направленное на решение актуальных социальных задач школы.

Принцип межпредметных связей, позволяет всесторонне раскрыть многоаспектные объекты учебного познания и комплексные проблемы современности. Принцип межпредметных связей как обязательное требование к содержанию и организации учебно-воспитательного процесса и познавательной деятельности учащихся способствует

— формированию системности знаний на основе развития ведущих общенаучных идей и понятий (образовательная функция межпредметных связей);

— развитию системного и диалектического мышления, гибкости и самостоятельности ума, познавательной активности и интересов учащихся (развивающая функция межпредметных связей);

— формированию политехнических знаний и умений (воспитывающая функция межпредметных связей);

— координации в работе учителей различных предметов, их сотрудничеству, выработке единых педагогических требований в коллективе, единой трактовке общенаучных понятий, согласованности в проведении комплексных форм организации учебно-воспитательного процесса (организационная функция межпредметных связей).

Принцип межпредметности способствует реализации каждого из других принципов обучения так же, как все эти принципы создают дидактические основы для планомерного осуществления межпредметных связей. Взаимосвязь принципов обучения с принципом межпредметности представлена на рисунке 1.[10]

Взаимосвязь принципа межпредметности с другими принципами обучения

Рис.1

Обучение в современной школе реализуется как целостный учебно-воспитательный процесс, имеющий общую структуру и функции, которые отражают взаимодействие преподавания и учения. Функция обучения — это качественная характеристика учебно-воспитательного процесса, в которой выражена его целенаправленность и результативность в формировании личности ученика. Межпредметные связи способствуют реализации всех функций обучения: образовательной, развивающей и воспитывающей. Эти функции осуществляются во взаимосвязи и взаимно дополняют друг друга.

В дидактической системе, построенной на основе принципа межпредметности, перестраиваются все этапы (звенья) деятельности учителя и учащихся. Обучающая деятельность учителя и учебно-познавательная деятельность учащихся имеют общую процессуальную структуру цель — мотив — содержание — средства — результат — контроль. Однако содержание этих звеньев различно в деятельности учителя, имеющей руководящий характер, и в деятельности учащихся, имеющей управляемый характер. Под влиянием межпредметных связей содержание этих звеньев и способы их реализации приобретают специфику (см. рис. 2).

Межпредметные связи позволяют вычленить главные элементы содержания образования, предусмотреть развитие системообразующих идей, понятий, общенаучных приемов учебной деятельности, возможности комплексного применения знаний из различных предметов в трудовой деятельности учащихся.[7]

Можно отметить следующие развивающие возможности урока с применением межпредметных связей:

Во-первых, он позволяет реализовать один из важнейших принципов дидактики – принцип системности обучения (если комплекс учебного материала отвечает целостности, структурности, взаимозависимости, иерархичности, множественности).

Во-вторых, создает оптимальные условия, для развития мышления (способность к абстракции, умения выделять главное, проводить аналогии, осуществлять анализ, сопоставление, обобщение и т.д.), тем самым, развивая логичность, гибкость, критичность.

В-третьих, способствует развитию системного мировоззрения, гармонизации личности учащихся.

Также межпредметные связи выполняют в обучении математики ряд функций. К ним относятся образовательная, развивающая, воспитывающая и конструктивная.

Образовательная функция межпредметных связей состоит в том, что с их помощью учитель математики и формирует такие качества знаний учащихся, как системность, глубина, осознанность, гибкость. Межпредметные связи выступают как средство развития математических понятий, способствуют усвоению связей между ними и общими понятиями.

Развивающая функция межпредметных связей определяется их ролью в развитии системного и творческого мышления учащихся, в формировании их познавательной активности, самостоятельности и интереса к познанию математики. Межпредметные связи помогают преодолеть предметную инертность мышления и расширяют кругозор учащихся.

Воспитывающая функция межпредметных связей выражена в их содействии всем направлениям воспитания школьников в обучении математики Учитель математики, опираясь на связи с другими предметами, реализует комплексный подход к воспитанию.

Конструктивная функция межпредметных связей состоит в том, что с их помощью учитель совершенствует содержание учебного материала, методы и формы организации обучения. Реализация межпредметных связей требует совместного планирования учителями предметов естественнонаучного цикла комплексных форм учебной и внеклассной работы, которые предполагают знания ими учебников и программ смежных предметов.[10]

Содержание, объем, время и способы и использования знаний из других предметов можно определить только на основе планирования. Для этого необходимо тщательное изучение рекомендаций, данных учебными программами в разделах «Межпредметные связи» по каждой учебной теме курса, а также изучение учебных планов и материала учебников смежных предметов.

1.2 Взаимосвязь предметов естественно-математического цикла

Предметы естественно-математического цикла дают учащимся знания о живой и неживой природе, о материальном единстве мира, о природных ресурсах и их использовании в хозяйственной деятельности человека. Общие учебно-воспитательные задачи этих предметов направлены на формирование диалектико-материалистического мировоззрения, атеистических убеждений, политехнических знаний и умений учащихся, всестороннее гармоническое развитие личности. На основе изучения общих законов развития природы, особенностей отдельных форм движения материи и их взаимосвязей учителя формируют у учащихся современные представления о естественнонаучной картине мира. Эти общие задачи успешно решаются в процессе осуществления межпредметных связей, в согласованной работе учителей.

Изучение всех предметов естественнонаучного цикла взаимосвязано с математикой (рис. 2). Математика дает учащимся систему знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности человека, а также важных для изучения смежных дисциплин (физики, химии, черчения, трудового обучения и др.).[2]

Основные взаимосвязи предметов естественно-математического цикла

Рис. 2.

Для начала рассмотрим связь математики и химии. Начиная с 5-х классов ребята в математике сталкиваются с такими задачами, где присутствуют элементы химии. А когда ребята начинают изучать химию, то здесь наблюдается тесная взаимосвязь этих двух предметов. Особенно яркие примеры учащимся представлены в неорганической химии.

Пример. Сплав двух металлов олова и цинка 25кг. Пусть вес олова и цинка в составе соответственно 10 и 15 кг. Каков процент содержание олова и цинка в сплаве?

Под процентным содержание олова и цинка понимается часть, которую составляет вес олова и цинка от веса сплава. Так как вес сплава равен 25кг, то олова составляет 10/25 = 0,4веса сплава, соответственно вес цинка составляет 15/25 = 0,6веса сплава. Следует обратить внимание на то, что 0,4+0,6=1,0. Если найденные части выразить теперь в сотых долях частей, то получим значение этих частей выраженное в процентах 40% и 60%. Здесь необходимо опять подчеркнуть, что 40%+60% = 100%.[12]

На основе знаний по математике у учащихся формируются общепредметные расчетно-измерительные умения. Изучение математики опирается на преемственные связи с курсами познания мира, физической географии, трудового обучения. При этом раскрывает практическое применение получаемых учащимися математических знаний и умений, что способствует формированию у учащихся научного мировоззрения, представлений и математическом моделировании как обобщенном методе познания мира.

Большой интерес учащихся вызывают задачи, связанные с литературой и историей. Особенно задачи в стихотворной форме, задачи-сказки, шарады, метаграммы. Они легко запоминаются и способствуют развитию интереса даже слабого, невнимательного ученика. Применение таких задач дает возможность привлечь внимание всех ребят.

Пример 1. Шли два отца и два сына,

Нашли три апельсина стали делить

Всем по одному досталось

Как это могло быть?

(ответ: дед, сын, внук)

Пример 2. Что имеет 2 руки, 2 крыла, 2 хвоста, 3 головы, 3 туловища и 8 ног?

(ответ: всадник на коне с соколом в руке) [1]

Более всего связь математики видна с физикой. Хотя учащиеся 5-6 классов не изучают ещё физику, но в математике мы уже решаем физические задачи на движение.

Пример 1. Собственная скорость теплохода 23 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите:

а) скорость теплохода по течению;

б) скорость теплохода против течения

Решение:

u1 = 23 км/ч (скорость теплохода)

u2 = 3 км/ч (скорость течения реки)

а) u = 23+3=26км/ч (по течению)

б) u = 23-3=20км/ч (против течения) [1]

Начиная с 7 класса, связь математики и физики проявляется чаще. Практически, усвоение физики без знания математики не возможно. Поэтому в курсе математики необходима система задач, которые готовят учащихся к применению математических знаний на уроках физики.

Пример 2. Чему равна сила тяжести, движущаяся на тело массой 2кг?

Решение:

Р = mg

g = 10

P = 2кг × 10 = 20Н [12]

Пример 3. Определить давление нефти на дно цистерны, если высота столба нефти 10м, а плотность ее 800кг/м3

Дано: Решение

h = 10м r =

r r [12]

r-?

Важное место в этой системе занимают задачи, в которых от учащихся требуется применить свои знания о различных функциях.

Первая группа таких задач связана с необходимостью, уметь получить информацию о физическом процессе, исходя из его математической модели (формулы, графики). Для этого учащиеся должны уметь распознавать вид зависимости по её аналитическому выражению, сопоставить формулу и физическую ситуацию, в которой она рассматривается и, наконец, исследовать функцию по её формуле или графику.

Вторая группа задач связана с тем, что в курсе физики находят применение два основных вида функциональных математических моделей - формулы и графики. Поэтому учащиеся должны уметь находить параметры зависимости по её графику и сравнивать параметры функций по соответствующим графикам, определять неизвестный элемент одной из моделей, исходя из рассмотрения другой.

Процесс интеграции требует выполнения определенных условий:

– объекты исследования совпадают либо достаточно близки;

– в интегрируемых предметах используются одинаковые или близкие методы исследования;

– они строятся на общих закономерностях и теоретических концепциях.

Часто учитель проводит не один интегрированный урок, а 2–3 урока подряд, объединяя три и более предмета. Здесь можно говорить уже о новой форме организации учебного процесса – интегрированном блоке.[10]

Интегрированный блок может реализовываться и в течение целого дня, тогда возникает новая форма обучения – учебный день. Анализировать же интегрированный блок (дидактические цели, содержание, методические приемы) можно на том же уровне, что и урок (учитывая лишь разное количество времени), поэтому далее будем оговаривать только форму урока.

Проводятся практические, лабораторные, исследовательские и творческие работы, требующие комплексного применения знаний. Использование ЭВМ на уроках математики, жизненные явления, факты и их анализ при объяснении теоретического материала, исторический и занимательный материал (факты, биографии, сообщения, доклады).

При выборе методов и форм использования межпредметной связи учитываются возрастные особенности учащихся, уровень их знаний, изученный материал по другим дисциплинам данного класса. Так, например, использование компьютера и формирование умений и навыков работы с наиболее распространенными программами является важной задачей образования.

Компьютерные технологии помогают улучшить и разнообразить преподавание математики, формируют основы компьютерной инженерной графики, которая заменяет традиционные методы построения чертежей и графиков.

В средних классах используются задачи, которые помогают углубить знания учащихся по биологии, географии, физики. При решении задач осуществляются дифференцированный и индивидуальный подход. Таким образом, для реализации межпредметных связей учитель математики с учетом общешкольного плана учебно-методической работы должен разработать индивидуальный план реализации межпредметных связей в математических курсах. Методика творческой работы учителя включает ряд этапов:

1) изучение раздела "Межпредметные связи" по каждому математическому курсу и опорных тем из программ и учебников других предметов, чтение дополнительной научной, научно-популярной и методической литературы;

2) поурочное планирование межпредметных связей с использованием курсовых и тематических планов;

3) разработка средств и методических приемов реализации межпредметных связей на конкретных уроках;

4) разработка методики подготовки и проведения комплексных форм организации обучения;

5) разработка приемов контроля и оценки результатов осуществления межпредметных связей в обучении.[3]

Межпредметные связи в обучении рассматриваются как дидактический принцип и как условие, захватывая цели и задачи, содержание, методы, средства и формы обучения различным учебным предметам.

Решая задачи, учащиеся совершают сложные познавательные и расчетные действия:

1) осознание сущности межпредметной задачи, понимание необходимости применения знаний из других предметов;

2) отбор и актуализация (приведение в рабочее состояние) нужных знаний из других предметов;

3) их перенос в новую ситуацию, сопоставление знаний из смежных предметов;

4) синтез знаний, установление совместимости понятий, единиц измерения, расчетных действий, их выполнение;

5) получение результата, обобщение в выводах, закрепление понятий.[3]

Таким образом, систематическое использование межпредметных познавательных задач в форме проблемных вопросов, количественных задач, практических заданий обеспечивает формирование умений учащихся устанавливать и усваивать связи между знаниями из различных предметов. В этом заключена важнейшая развивающая функция обучения математики.

Межпредметные связи влияют на состав и структуру учебных предметов. Каждый учебный предмет является источником тех или иных видов межпредметных связей. Поэтому возможно выделить те связи, которые учитываются в содержании математики, и, наоборот, - идущие от математики в другие учебные предметы.

1.3 Методы осуществления межпредметной связи на уроках математики

Усиление практической направленности обучения, его связи с трудом, с практикой требует от учителей всех предметов обратить особое внимание на формирование практических умений учащихся. Учитель в своей работе ориентируется на формирование обобщенных умений практической деятельности с помощью межпредметных связей. Такие умения соответствуют видам деятельности, общим для смежных предметов. Это умения расчетно-измерительной, вычислительной, графической, экспериментальной, конструкторской, прикладной и трудовой деятельности в предметах естественно-математического цикла. В предметах общественно-исторического цикла к практическим относятся умения речевой деятельности, умения работать с первоисточниками, художественные, умения, в которых слиты практические, познавательные и творческие действия. Практические умения характеризуют умения учащихся применять знания на практике, в ситуациях разной степени новизны и сложности. Общепредметные умения формируются на межпредметной основе, когда учителя различных предметов предъявляют к учащимся единые требования, исходя из общей структуры умений, последовательности выполняемых действий и этапов формирования и развития умений (показ образца действий, его осмысление, упражнение в его применении на материале разных предметов, закрепление при выполнении комплексных межпредметных заданий, в самостоятельных работах творческого характера).

Математика проникает во все области науки, важна её практическая направленность, обусловленная тем, что её предметом изучения являются фундаментальные структуры реального мира, пространственные формы и количественные отношения от простейших до самых сложных. [10]

Один из методов, который применяется на своих уроках с целью осуществления межпредметной связи, это метод целесообразных задач. Сущность его сводится к подбору одной или двух задач межпредметного содержания и использование их на уроке.

Например.

Из меди, цинка и латуни приготовили сплав массой 3,9кг. В сплаве имеется 1,8кг меди, а масса латуни в 2 раза больше массы цинка. Сколько имеется латуни в сплаве?[3]

Ц – х кг

М – 1,8кг 3,9кг

Л – 2х кг

Решение:

х+2х+1,8=3,9

3х=3,9-1,8

х=0,7кг (цинк)

2×х=2×0,7=1,4кг (латунь)

Ответ: 1,4кг латуни.

Следующий метод — эвристический. С помощью этого метода дается возможность учащимся самостоятельно делать выводы, формулировать вопрос, составлять задачи, используя знания других предметов.

Например.

Задание этого типа направлены на развитие у учеников способности к систематизации и упорядочению тех сведений, которые даются в условии. «Какой квадратик на рисунке 3 надо закрасить, чтобы изображенная фигура оказалась состоящей из двух одинаковых частей?

В результате обсуждения и уточнения ответов учеников можно прийти к выявлению тех представлений, которые лежат в основе понятия осевой симметрии.

Точки А1 и А2 называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка А1А2 и перпендикулярна к этому отрезку.

Проблемно-поисковый. В данном случае ставится перед классом определенная проблема, которую можно разрешить, лишь используя межпредметную связь.

Так, задача может быть предложена не только для создания проблемной ситуации, но и для закрепления нового материала.

Шоссе проходит через речку. Мост имеет форму параболы у = рх2. Каким нужно сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на насыпь был плавный? Длина моста l = 20 м, стрела провеса f = 0,5 м (рис. 4).

Указание. Направление подхода к мосту должно совпадать с направлением касательной к профилю моста на конце его. Задача сводится к нахождению углового коэффициента касательной к графику функции у = рх2 в точке х = 10. Значение р определяют из условия, что парабола проходит через точку с координатами (10; 0,5). Обозначим величину угла наклона касательной через a. Тогда tga = у¢(10) = 0,1. [4]

Межпредметные проблемные вопросы служат различным целям в обучении. Это могут быть отдельные ситуативные вопросы, которые обобщают определенные понятия, изучаемые в разных предметах.

С помощью проблемных вопросов учитель может создать межпредметную проблемную ситуацию. Задания межпредметного характера побуждают учащихся к творческому подходу выбора решения.

Таким образом, межпредметные связи осуществляются не только в содержании, но и в методах обучения и закрепляются в умениях учащихся.[10]

Глава 2. Методика реализации внутрипредметных связей

2.1 Роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях

Одной из основных задач обучения является развитие целенаправленного мышления. Развитие же мышления предполагает формирование различных понятий, в том числе и математических, так как они выступают в качестве основной формы мышления. Понятия не могут существовать в отдельности друг от друга, они взаимообусловлены, взаимосвязаны. Существование каждого понятия было бы невозможно без определенных отношений к другим. Некоторые понятия вообще не могут существовать вне этих отношений. Так, например, понятия радиус, хорда, диаметр, вписанный угол и т. д. не мыслимы без соотнесения их с понятием окружности.

В учебном курсе понятия могут играть разную роль: одни из них являются общими, с широким спектром приложений, другие же играют функцию подчиненную. Учитель должен уметь выделять общие, ведущие понятия курса. Ведущими понятиями будем считать те, которые удовлетворяют следующим критериям: они должны формировать научное мировоззрение; значительно чаще других понятий служить средством изучения различных вопросов математики; активно работать на протяжении большого промежутка времени; способствовать наиболее полной реализации внутрипредметных связей, а, в конечном счете, и межпредметных; иметь прикладную и практическую направленность. Примерами таких ведущих понятий могут служить: число, величина, фигура, функция, график, уравнение, неравенство, равносильность, алгоритм и т. д.

Выделив ведущие понятия, учитель должен затем проследить их развитие во всем курсе школьной математики, тем самым определить его содержательно-методические линии, которые обеспечивают курсу необходимую систематичность и последовательность, отражают идейную сторону математики и являются важнейшим средством обеспечения преемственности всего изучаемого материала.

Перечислим основные содержательно-методические линии школьного курса алгебры: числовая, алгоритмическая, функциональная, линия уравнений и неравенств.

Реализация внутрипредметных связей вовсе не должна означать установление искусственных связей; наряду со связями, играющими положительную роль в процессе обучения, имеют место и связи отрицательного действия. Задача учителя — суметь в каждом конкретном случае отчленить одни связи от других и исключить связи отрицательного воздействия. Приведем примеры связей отрицательного действия.

1. Учащиеся, используя основное свойство дроби, ошибочно преобразуют дробь к следующему виду: или .

Ошибки получены в результате сокращения дроби не на множитель, как того требует основное свойство дроби, а на слагаемое.

2. При введении понятия иррационального числа многие учителя иллюстрируют это понятие лишь такими примерами: ; - и т. д. Это приводит к тому, что затем на вопрос: «Приведите примеры иррациональных чисел» — учащиеся отвечают лишь подобными примерами, тем самым происходит сужение объема понятия иррационального числа. Этого не произошло, если бы народу с приведенными выше примерами учитель показал и иррациональное число 0,001 00001 . (используется связь с бесконечными непериодическими десятичными дробями).[7]

Значительная часть приведенных ошибок возникла в результате следующих причин. Это большая прочность ранее образованных связей по сравнению с позже возникающими; стремление учащихся к автоматическому применению теории без достаточного анализа возможности ее применения; доминирование ассоциативных связей над смысловыми, склонность действовать по стереотипу.

Отрицательные связи, устанавливаемые учениками, можно предвидеть и вести работу, которая могла бы их предотвратить. Так, например, большое число решенных задач по разложению на множители трехчленов вида x2+px + q не облегчает, а скорее затрудняет формирование навыка разложения на множители трехчленов вида ах2+bх+с (учащиеся записывают ошибочный ответ в виде (х — х1)(х — х2), опуская множитель а). Поэтому выполнение упражнений по разложению на множители трехчленов первого вида не должно быть длительным. Преподавание должно вестись по способу чередования разнотипных задач.

Одни и те же понятия могут быть определены на основе разных исходных посылок, различными способами. Все эти определения могут оказаться равноценными, но они будут иметь существенную разницу в достигнутых результатах обучения, в частности будет различной полнота внутрипредметных связей. Задача состоит в том, чтобы отыскать такой вариант, при котором эти результаты обучения будут наилучшими. Важно разъяснять учащимся реальный смысл понятий, показывать, отражением каких сторон действительности они являются.

Остановимся в связи с этим на теме «Действительные числа». Хотя данная тема служит основой изучения вопросов математического анализа, она, слабо усваивается учащимися. В первую очередь отметим, что школьники не видят связей между понятием действительного числа и понятиями математического анализа, изучаемыми в школьном курсе. Одна из причин — выведение понятия действительного числа из задачи об извлечении корня.

Это задача курса алгебры, а не математического анализа. Вопрос об извлечении корня не является главным в данном случае. Его целесообразно использовать лишь для мотивировки введения новых чисел — иррациональных.

Действительно, после того как будет доказано, что нет рационального числа, квадрат которого равен 2, учащимся можно предложить задачу: «Постройте квадрат ABCD со стороной 1 и на диагонали АС этого квадрата постройте другой квадрат (рис.5). Чему равна площадь получившегося квадрата АСКМ?»

Так как SABCD = 1 ед.2, то SACD= ед.2.

Так как DACD = DCDK= DKDM= DADM, то Sackm = Sacd + ScDk + SKdm + + Sadm= =2 ед.2. Если сторону квадрата АСКМ (диагональ АС) обозначить через х, то получим х2=2. Но раз мы реально имеем квадрат площадью 2 ед.2, то должно существовать и число, квадрат которого равен 2.

Для математического анализа ведущим является расширение множества рациональных чисел до множества действительных чисел, которое является непрерывным (вместе с этим решается вопрос и об извлечении корня из положительного числа). Главенствующее значение действительных чисел в курсе математического анализа как раз и состоит в том, что они способны выразить непрерывное изменение величины. (В случае доминанты задачи об извлечении корня этот вопрос остается скрытым.)

Таким образом, отработка понятия действительного числа и понятия непрерывной величины — это две стороны одного и того же процесса. Так как наглядной иллюстрацией непрерывного процесса служит движение точки по прямой, то в основе формирования понятия действительного числа должно быть, в первую очередь, понятие прямой, совокупность точек которой такова же по своей структуре, как и множество действительных чисел. Рассматривая так действительные числа, можно осуществить преемственность данной темы с такими вопросами анализа, как предел, непрерывность, производная, интеграл и т. д. [7]

Важным требованием к определению понятия является его согласование с естественно-интуитивным представлением о нем. Не может, например, считаться целесообразным определение целого числа через класс пар натуральных чисел, ибо оно не сформирует у учащихся тех умений и навыков, которыми они должны владеть для проведения числовых и алгебраических преобразований. Это же следует сказать и о таких определениях: определение натурального числа как класса эквивалентных множеств; определение рационального, числа как класса пар целых чисел; определение вектора как параллельного переноса; определение функции как множества пар с различными первыми компонентами. Несоответствие между интуитивным представлением о понятии вектора и его формальным определением можно преодолеть за счет введения понятия вектора через направленный отрезок, а функции через физический прототип — переменную величину.[3]

Введение понятий в школьный курс должно строиться на основе разумного сочетания двух аспектов: исторического и логического.

2.2 Методика реализации внутри- и межпонятийных связей

Реализация внутрипонятийных связей преследует цель научить учащихся выделять существенные признаки понятия, сформировать у них умение переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков. Учащиеся должны из набора существенных признаков объекта уметь устанавливать его принадлежность понятию и наоборот. Основная функция внутрипонятийных связей — образование понятия. (По времени это один-два урока, на которых понятие вводится.)

Любое понятие можно расчленить на составляющие его компоненты, между которыми устанавливаются определенные связи. Например, понятие геометрическая прогрессия определяется как числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Исходя из этого определения можно выделить следующие составляющие: последовательность, первый член последовательности, знаменатель прогрессии. Они подчинены определенным зависимостям. Так, члены последовательности должны быть отличны от нуля, знаменатель прогрессии есть любое число, не равное нулю, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Для усвоения понятия геометрической прогрессии, на уровне требований программы девятилетней школы, необходимо, чтобы были усвоены перечисленные элементы и связи между ними.

В понятии треугольник можно вычленить такие элементы, как стороны и углы. Между этими основными элементами треугольника существует целый ряд различных отношений: ÐA+ ÐB+ÐC = 2d; если а£b, то ÐА³ ÐВ; если ÐA£ÐB, то и а£b; а — b<с; а+b>с и т. д. Учитывая, что этот список отношений большой, речь вовсе не идет о том, чтобы учащиеся усваивали все эти отношения, их количество прежде всего ограничено учебной программой. Для любого понятия может быть выделен минимальный список наиболее важных отношений, играющих доминирующую роль не только в усвоении этого понятия, но и необходимый в дальнейшем для изучения других вопросов. Приведем несколько примеров.[7]

При изучении понятия координатная прямая учащиеся должны выделять существенные свойства этого понятия: а) координатная прямая — это прямая линия; б) координатная прямая — это прямая с выбранным на ней началом отсчета; в) координатная прямая — это прямая с выбранной на ней единицей измерения; г) координатная прямая — это прямая с выбранным на ней направлением.

После выделения существенных признаков учащимся предлагается работа по комбинированию этих признаков и определению на основе этих комбинаций соответствующих им объектов. Здесь, как и в предыдущем примере, идет работа над внутрипонятийными связями.

Важное значение для успешной реализации внутрипонятийных связей имеет работа школьников по осознанию тех связей, которые существуют между свойствами понятия. При этом учебный материал должен быть организован на основе варьирования несущественных признаков понятий при сохранении постоянными существенных признаков, которые и будут положены в основу обобщения.

Например, для ознакомления учащихся с фактом влияния коэффициента k на свойства функции y = kx достаточной является группа упражнений, состоящая из следующих задач: «Постройте графики функций у=3х, у=х, у=х, у= —3х,у= —х, у=-x. Как влияет на их расположение значение k?»

В данной группе задач исключено беспорядочное варьирование коэффициента, при котором ученик может упустить необходимые для обобщения связи между коэффициентом k и свойствами функции y = kx. Все задачи направлены на осознанное понимание учащимися двух различных факторов, определяющих свойства функции: абсолютная величина k, знак коэффициента k.

Организуя работу над внутрипонятийными связями, учителю следует иметь в виду, что при этом важно варьировать несущественные признаки понятия. Особое значение эта работа имеет при формировании геометрических понятий. Если учитель ограничивается, например, стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро связывают формируемое понятие с фигурами определенного вида и расположения.[7]

Ведь использование стандартного чертежа вызывает у учащегося неверные ассоциации, в результате чего он в содержание понятия вносит и частные признаки демонстрируемой фигуры. В такой ситуации наблюдается разобщенность между словесным объяснением учителя и наглядной интерпретацией. Это приводит к тому, что знания, формируемые на базе одного и другого, не соответствуют друг другу.

Приведем несколько примеров, подтверждающих сказанное.

1. Учащиеся при выполнении задания на распознавание фигур, например, к углу относили лишь фигуру, изображенную на рисунке 6б. Причиной послужило то, что учитель, формируя понятие угла, использовал лишь рисунки, подобные рисунку 6б, и школьники с бедными геометрическими представлениями попали «в плен» к наглядности.

2.Некоторые учащиеся к смежным углам отнесли лишь углы, изображенные на рисунке 7б.

3. Многие ученики к прямоугольным треугольникам относят лишь те, у которых прямой угол находится «внизу» (рис. 8 б, в). Причиной ошибочного представления о понятии явилось то, что учащиеся при его введении пользовались лишь одним признаком, а не совокупностью существенных признаков, при этом доминирующим стал наиболее ярко выраженный несущественный признак.[2]

Следует иметь в виду, что формирование понятия в сознании учащихся в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с этим понятием.

Не менее важным в работе над внутрипонятийными связями является формирование у школьников умения переосмысливать фигуру в плане другого понятия, вычленять и комбинировать из элементов изображения новые фигуры, не указанные в условии задачи. Проиллюстрируем сказанное на примерах.

1. Назовите все четырехугольники, изображенные на рисунке 9.

2. В какие фигуры входит отрезок АВ на рисунке 10?

3 Чем является отрезок КЕ на рисунке 11?

Радиус окружности равен 5 см (рис. 10).

Найдите длину отрезка АВ. Для решения задачи учащиеся должны увидеть радиус окружности в качестве диагонали ОК прямоугольника АКВО. Тогда на основе равенства диагоналей прямоугольника они получат, что АВ = 5 см.

Для того чтобы учащиеся понимали роль и назначение чертежа, умели читать и строить его по словесному заданию условия, целесообразно довести школьников до полного понимания роли чертежа в геометрии;

показать образцы чтения чертежей; добиваться того, чтобы учащиеся умели видеть в чертеже не только то, что бросается в глаза, но и все то, что содержится в нем; формировать у учащихся навыки в технике черчения; применять вариацию положения чертежа.

На уровне внутрипонятийных связей важна работа по формированию у школьников представления о свойствах, являющихся следствием других свойств, о понятии противоречивости свойств.

С этой целью учащимся младших классов можно предложить задачи такого содержания.

Могут ли одновременно а и b удовлетворять условиям:

а) а больше b; а меньше b;

б) с больше b; произведение чисел а и b равно нулю;

в) а делитель b; а меньше b;

г) а расположено на числовом луче правее b; а равно b;

д) а расположено на числовом луче левее b, а меньше b- а = 2;

е) прямая а параллельна прямой b; прямая b перпендикулярна прямой а?

Приведенные примеры показывают, что для усвоения понятия необходимо отыскать такой вид деятельности, который позволял бы усваивать основные элементы понятия и отношения между ними. При этом вид деятельности будет зависеть от характера понятий.

В курсе школьной математики все понятия можно условно подразделить на группы, положив в основу классификации тот или иной признак. Приведем классификацию:

— понятия, аналогами которых являются житейские представления учащихся (например, число, прямая, точка);

— понятия, вводимые в курс без определений (например, величина, множество);

— понятия, вводимые в курс через определения (например, функция, уравнение, неравенство, логарифм числа);

— понятия, введенные ранее в «расплывчатом» виде, в дальнейшем получающие свое четкое определение (например, график, степень, равенство фигур).

При формировании понятий первой группы следует связывать математические понятия с их житейскими прототипами, приобретенными учащимися вне целенаправленного обучения. Житейские прототипы, или, как их еще называют, аналоги, могут либо верно, либо неверно отражать основную суть научного понятия. Например, рассмотрим термин функция. Но смысл, который вкладывается ими в данный термин, не соответствует его научной трактовке. Этот термин учащиеся до изучения понятия функции на уроках алгебры используют в смысле назначения: роль одного объекта по отношению к другому (функция органов дыхания, функция воды по отношению к растениям и т. д.). Ясно, что при формировании математического понятия функция в смысле зависимости опора на житейский прототип невозможна. В данном случае привычка учащихся к обыденным оборотам речи лишь тормозит понимание математического понятия.[3]

При формировании понятия смежные углы опора на житейские прототипы (например, смежные комнаты, смежные приусадебные участки) позволяет исключить такую ошибку ученика, когда вместо выражения «смежные углы» используется следующий оборот: «смежным углом называется такой угол, у которого одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами».

Особое значение соотношение житейских прообразов и их научных образов приобретает в случае изучения основных неопределяемых понятий курса. Формирование этих понятий невозможно без опоры на жизненный опыт учащихся. Первостепенное значение при этом имеет мотивация введения этих понятий.

Например, в курсе геометрии при введении различных геометрических фигур учащимся полезно предлагать задания по составлению «родословной» каждого понятия.

При изучении понятий окружность, отрезок схемы «родословной» могут быть изображены так, как на рисунках 13,14.

Сравнивая эти схемы «родословной», учащиеся замечают, что каждое из этих понятий сводится к таким, как точка, прямая, плоскость, расстояние. Тем самым школьники подводятся к мысли, что не все понятия могут быть определены, а следовательно, некоторые из них должны быть взяты в качестве основных, неопределяемых. В действующем школьном курсе геометрии к ним относятся точка, прямая, плоскость, лежать между, принадлежит.

При работе над этими понятиями опора на житейские прототипы не только не исключает (как это было в примере с понятием функции), а, наоборот, предполагает как можно более частое обращение к ним.

Если понятие определяется в школьном курсе математики, то чаще всего определение, дается сразу в завершенной, свернутой форме. Однако такой подход не требует от школьников самостоятельного выделения существенных признаков понятий, а это в итоге приводит к тому, что ученики не могут их сознательно использовать при решении практических задач. В подобных определениях для учащихся остаются скрытыми не только те действия, которые позволяют распознавать понятие в изменяющихся условиях, но и сам процедурный характер его получения.

Исключения составляют те случаи, когда для распознавания объекта в определении соответствующего понятия дан эталон, с которым этот объект может быть сравнен. Например, в такой форме дается определение линейной функции: «Функция, которую можно задать формулой вида y = kx+b, где k и b — некоторые числа, называется линейной».

Раскрытие внутрипонятийных связей должно идти через действия учащихся, при этом учитель должен организовать целесообразную деятельность школьников. [3]

Недостаточная работа над внутрипонятийными связями приводит, как правило, к типичным ошибкам. Обратим внимание на некоторые из них:

1. Ошибки, связанные с неправильным указанием родового понятия.

Примеры:

а) Средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины его двух сторон. (Указано понятие, которое для определяемого не является родовым.)

б) Квадратом называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны между собой. (Указано не ближайшее родовое понятие.)

2. Ошибки, связанные с неправильным указанием видового отличия.

Примеры:

а) Прямоугольником называется четырехугольник, диагонали которого равны. (Указано видовое отличие, которое не определяет понятие прямоугольник однозначно.)

б) Угол, образованный двумя хордами, называется вписанным. (Не указан еще один существенный признак — вершина угла должна лежать на окружности.)

3. Ошибки, связанные с тавтологией.

Пример. Равными треугольниками называются такие треугольники, которые равны между собой.

4. Ошибки, связанные с пропуском слов.

Примеры:

а) Простое число — это натуральное число, которое делится само на себя и на единицу. (Пропущено слово «только».) б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. (Пропущено слово «две».)[2]

Задача учителя — вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, ибо без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.

Каждая ошибка характеризуется содержанием и причинами возникновения. Содержание ошибки лежит на поверхности явления, а причина скрыта в глубине его.

Математические ошибки подразделяются на случайные и систематические (устойчивые). К случайным ошибкам относятся те, которые появляются однократно, несистематически у одного-двух учащихся класса. К устойчивым ошибкам относят либо те, которые появляются у одного и того же ученика (или нескольких) неоднократно, либо наблюдаются, хотя и однократно, но у многих учащихся.

Причины устойчивых ошибок учащихся являются следствием:

а) психологических факторов (ослабление внимания, памяти, мышления);

б) несовершенства организации процесса обучения;

в) недостатков программ, учебников по математике.

В педагогической литературе правомерно ставятся вопросы:

«Нужно ли предупреждать ошибки в действиях учащихся?»;

«Нужно ли допущенную ошибку обсуждать фронтально или же целесообразнее это сделать индивидуально?»;

«Есть ли ошибки такого рода, обсуждение которых вообще нецелесообразно?».[5]

Но продуманная работа над систематическими (устойчивыми) ошибками может оказаться эффективным средством формирования сознательных и прочных знаний учащихся. В каждом конкретном случае учитель должен сам определить, какая форма работы будет целесообразнее: фронтальная или индивидуальная.

Большое значение в работе с внутрипонятийными связями играют контрпримеры, которые вначале, приводятся учителем, а затем к их конструированию подключаются и учащиеся.

Так, для определения а) и б) данных при описании типичных ошибок четвертого вида можно соответственно привести контр.пример, иллюстрирующий их ошибочность:

а) Число 12 делится на себя и на единицу, но оно не является простым числом.

б) Прямые а, b, с (рис. 15) лежат в одной плоскости, не имеют ни одной общей точки, но не являются параллельными.

Подобного рода работа повысит математическую культуру учащихся, научит их сознательно относиться к каждому слову в определении.

Контр. примеры чаще всего применяются тогда, когда надо убедить ученика в том, что он ошибается. Полезно уже на уровне 5-6 классов предлагать задания следующего содержания: «Приведите контр.примеры, доказывающие ложность следующих высказываний:

а) любые три отрезка могут быть сторонами треугольника;

б) сумма любого четного и любого нечетного числа есть число простое

в) любая фигура, имеющая три угла, является треугольником;

Успешному усвоению внутрипонятийных связей будет способствовать организация активной познавательной деятельности школьников на всех этапах формирования понятия. Покажем, как можно это сделать на примерах.

1. Для формирования понятия медианы треугольника учащимся предлагается:

а) построить произвольный треугольник;

б) соединить отрезком его вершину с серединой противоположной стороны.

После этой работы учитель говорит: «Такой отрезок называется медианой треугольника» — и предлагает учащимся самим сформулировать определение медианы треугольника.

2. Работая над понятием квадратное уравнение, полезно предложить учащимся заполнить таблицу 1.

Таблица 1

При такой работе закрепляются знания о параметрах квадратного уравнения, идет активное усвоение общей формулы корней и теоремы Виета.

Учителю при работе над внутрипонятийными связями следует иметь в виду, что не всегда структура текста учебника математики соответствует оптимальной последовательности этапов формирования понятий, которая может быть такой:

1. Рассмотрение примеров объектов, входящих в объем понятия.

2. Введение термина, обозначающего понятие.

3. Рассмотрение примеров объектов, не входящих в объем понятия.

4. Формулирование определения понятия.

5. Сообщение дополнительных сведений, в частности указание несущественных признаков понятия.

6. Систематизация знаний.

Большую роль в работе с внутрипонятийными связями играют упражнения по практическому применению понятий и теорем. На уроках мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда учащиеся верно формулируют определение понятия, теорему, но оказываются бессильными в случае решения конкретной задачи. Например:

а) хватит ли 20 см проволоки, чтобы согнуть из нее треугольник, одна сторона которого была бы равна: 12 см; 8 см; 10 см;

б) почему углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые;

в) почему каждый острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°?

Проверить, сознательно ли школьники усвоили внутрипонятийные связи, поможет педагогически целесообразная постановка вопросов. Вопрос считается педагогически целесообразным, если ответ на него не копирует учебник, а будит активную, сознательную мысль ученика; такой вопрос должен выявлять степень понимания, а не степень запоминания материала. Пример.

В 5 классе при изучении натурального ряда чисел учащимся сообщают его свойства: натуральный ряд чисел начинается с 1; каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего; натуральный ряд чисел неограничен (не имеет конца).

Вопросы: «С какого числа начинается натуральный ряд чисел?», «На сколько следующее натуральное число больше предыдущего?», «Конечен ли натуральный ряд чисел?» — педагогически нецелесообразны.

Выявить сознательное усвоение школьниками свойств натурального ряда чисел помогут такие вопросы: «Каково наименьшее натуральное число?», «Какое натуральное число предшествует 1?», «Назовите наибольшее натуральное число», «Почему а+1 обозначает следующее за натуральным числом а число?»

Для успешной реализации внутрипонятийных связей необходимо у школьников формировать логические приемы мышления, такие, как подведение под понятие, сравнение, выведение следствий, построение объектов по определению понятия.

К сожалению, значительная часть учащихся не владеет этими приемами. Так, при подведении объекта под понятие они опираются не на систему признаков, указанную в определении, а на отдельные признаки. Например, школьники ошибочно дают утвердительные ответы на вопросы: «Будут ли углы смежными, если они имеют общую вершину и в сумме составляют 180°?», «Будут ли углы вертикальными, если они равны и имеют общую вершину?»

Ошибки, допущенные при распознавании объектов в указанных выше вопросах, обусловлены тем, что во всех случаях нет сведений о некоторых необходимых признаках, а школьники испытывают большие трудности при распознавании объектов в задачах с неопределенным составом условий. [2]

Для того чтобы учащиеся могли верно подводить объект под понятие в случаях конъюнктивной и дизъюнктивной структур определений, можно вместе с ними составить следующую схему распознавания.

1. Исходя из условий выбрать удобное определение понятия, под которое подводится объект.

2. Выделить в выбранном определении все признаки понятия.

3. Установить, какими логическими союзами связаны между собой эти признаки.

4. Если все признаки понятия связаны союзом «и», то для подведения объекта под понятие надо проверить последовательно выполнение для данного объекта всех признаков, если не выполнен хотя бы один признак, то объект не принадлежит к указанному понятию, если же все признаки выполнены, то объект принадлежит объему этого понятия.

5. Если все признаки понятия связаны союзом «или», то для установления принадлежности объекта объему понятия достаточно проверить выполнение хотя бы одного из этих признаков.

Систематическое, целенаправленное использование такой схемы распознавания объекта позволит избежать ошибок, допускаемых учащимися при осуществлении логического приема мышления — подведения объекта под понятие.

Рассмотрим еще один вопрос, связанный с определением понятий.

Радикальное изменение содержания школьной математики привело в свое время к усилению строгости изложения курса. Отражением этого явилось усиленное внимание к строгости определений понятий, изучаемых в курсе математики. В большей степени дефиниционный формализм коснулся содержания основ математического анализа, изучаемых в школе.

Наличие большого числа строгих определений понятий в прежнем курсе алгебры и начал анализа привело к смещению в преподавании акцента от интуитивного к логическому. В таком случае в процессе обучения отрабатывались и закреплялись формальные определения понятий вместо выработки у учащихся адекватных представлений о понятиях, необходимых для правильного их использования в практической работе.

Такое изменение методической ситуации в изучении понятий привело к формализму в знаниях учащихся. Приведем примеры.

Учащимся предлагается задание: «Вычислить (x)dx, если функция f(x) задана графиком (рис. 16)». Немногие учащиеся решат ее рационально, не вычисляя интеграла, а находя сумму площадей прямоугольника и трапеции.

Предупредить формализм в знаниях учащихся возможно за счет усиления связей интуитивно-опытных представлений с логической формализацией, а также за счет усиления наглядно-смысловой стороны изучаемых вопросов.

Использование и оперирование графическими моделями понятий математического анализа есть эффективное средство преодоления и предупреждения формализма в знаниях, повышения прочности и осознанности знаний, развития должной интуиции у учащихся в понимании фундаментальных понятий и внутрипонятийных связей. Геометрический язык позволяет проводить пропедевтику основных понятий математического анализа, способствует формированию политехнических знаний и прикладных умений, содействует развитию у учащихся навыков моделирования явлений действительности. Результаты могут быть достигнуты без дополнительных затрат учебного времени. С этой целью задачи графического содержания достаточно использовать в качестве устных вопросов к традиционным вопросам курса.

Покажем, каким образом геометрическое истолкование понятия производной может способствовать правильному построению графиков функции с помощью дифференциального исчисления. (Мы проиллюстрируем тем самым реализацию внутрипредметных связей на уровне умений и навыков.)

1. График функции f (х) = х3 -2х2 + х должен быть таким, каким он изображен на рисунке 17. Учащиеся же представляют его в виде, изображенном на рисунке 18.

2. Функция f(х)=х2—х4 должна иметь график, изображенный на рисунке 23, а школьники строят ошибочно другие эскизы графика (рис. 19,20)

Эти ошибки происходят из-за того, что школьники при построении графика функции берут во внимание лишь характер монотонности функции и то, какой экстремум имеет функция в той или иной экстремальной точке, забывая при этом учесть, существует ли производная функции в этих точках, и если да, то каково ее значение.

Действительно, график функции f(x)=x2—x4 (см. рис. 20) построен так, что в точках с абсциссами х=— и х= к кривой нельзя провести касательных, в то время как производная функции в этих точках существует (она равна нулю), а значит, проведение касательных возможно.

Следовательно, при построении графика функции школьники должны уметь сопоставить ход кривой в окрестностях экстремальных точек с тем, возможно ли проведение касательных или нет, причем в случае равенства нулю производной функции в этих точках касательные должны быть параллельны оси х.

3. Пусть нужно построить график функции f(x)=x4 — 2х2 — 3. Учащиеся оформляют проведенное исследование функции в виде таблицы.

До построения графика функции полезно сначала на координатной плоскости отметить точки (—1; —4), (0; —3), (1; —4) (рис. 22)

Учитывая, что касательные к графику функции в этих экстремальных точках параллельны оси х (это следует из равенства нулю угловых коэффициентов, так как f' (—1) = f'(0) = f'(1) = 0), проведем в этих точках прямые, параллельные оси х (рис. 22). Затем следует, согласно таблице, наметить ход кривой в точках (рис.23). Построение самого же графика функции явится завершающим этапом (рис. 24).[7]

Внутрипонятийные связи играют ведущую роль в образовании понятий а межпонятийные связи — в его формировании.

Формирование понятия более длительный процесс, чем его образование. Образование понятия связано с изучением овладения его содержанием, а формирование понятия характеризуется еще и овладением его объемом.

Содержательной стороной межпонятийных связей являются логические отношения, которые устанавливаются между понятиями. Остановимся на их характеристике. Дадим каждому из видов отношений соответствующее определение.

К основным отношениям между понятиями следует отнести: отношение тождества, отношение несогласованности, отношение подчинения, отношение соподчинения, отношение частичного совпадения. Эти отношения определяют структуру понятийного аппарата курса математики.

Определение 1. Понятия А и В тождественны, если полностью совпадают их объемы (рис. 25)

Например, понятия арифметическая прогрессия и линейная функция, заданные на множестве натуральных чисел, являются тождественными.

Определение 2. Понятие А называется несогласованным с понятием В, если их объемы не имеют общих частей (рис. 26)

Примером несогласованных понятий могут служить понятия треугольник и четырехугольник

Определение 3. Если объем понятия А входит целиком в объем понятия В, то понятия А и В находятся в отношении подчинения. Понятия А- подчиненное, понятие В – подчиняющее (рис.27)

Этот вид отношения между понятиями имеет особое значение. Фактически здесь речь идет об отношении вида к роду. Многие же понятия в курсе школьной математики определяются через ближайший род и видовое отличие, т. е. определения строятся на отношении подчинения понятий. Примером такого вида отношений могут служить отношения между частными видами функций и самим понятием функции. Последнее выступает родовым по отношению к каждому конкретному виду функции. Другим примером может служить отношение между понятиями многоугольник и трапеция.

Определение 4. Если объем понятия А и объем понятия В входят друг в друга частично, то эти понятия находятся в отношении частичного совпадения (рис. 28).

В отношении частичного совпадения находятся понятия монотонная функция и нечетная функция. Действительно, есть функции одновременно монотонные и нечетные, есть функции монотонные, но не нечетные, есть функции нечетные, но не монотонные. В отношении частичного совпадения находятся понятия ромб и прямоугольник.

Определение 5. Если понятия А и В несогласованы, а их объемы целиком входят в объем Понятия С, то понятия А и В называются соподчиненными (рис. 29)

математика алгебра геометрия межпредметный

Так, пусть С — это рациональные выражения; А — целые рациональные выражения; В — дробные рациональные выражения. Понятия А и В в данном случае несогласованы, но объемы их целиком входят в объем понятия С, следовательно, они находятся в отношении соподчинения. В таком же отношении находятся понятия четырехугольник, трапеция, параллелограмм.

Мы рассмотрели различного рода связи между понятиями в зависимости от соотношения их объемов, но существуют отношения и другого характера. Например, отношения пространственно временные, отношения порядка, отношения количества и т. д.

Организовать необходимую ориентацию учащихся в учебном материале нужно не на основе наблюдения внешних проявлений понятий, а на основе анализа важнейших отношений между ними.

В первую очередь следует выделять отношения, устанавливающие связи между элементами одного и того же класса математических объектов. Затем выделяются отношения, устанавливающие связи между элементами различных классов математических объектов. Нет необходимости явно знакомить учащихся с межпонятийными отношениями, достаточно показать содержательно ограниченную сферу их использования.

Установление межпонятийных отношений должно строиться на основе сравнения и выявления различий и сходств между понятиями. Сравнение понятий может проводиться по схеме:

а) выделение признаков понятий;

б) установление общих и существенных признаков;

в) выбор одного из существенных признаков в качестве основания для сравнения;

г) сопоставление понятий по выбранному основанию.

При изучении понятий на основе сопоставления их существенных примаков выбираются сравнимые и несравнимые понятия. Сравнимыми понятиями считаются те, в содержание которых входят общие признаки

На основе анализа этих общих признаков делается вывод о наличии или отсутствии общей части объемов этих понятий и затем строятся различные классификационные схемы.

Представленные схемы появляются как продукт анализа, синтеза, обобщения материала. Они позволяют разом охватывать множество понятий, лучше проследить за развитием узловых понятий, видеть каждое из них в центре всех тех отношений, в которые оно вступает со всеми остальными.

Психологами было показано, что отношения между объектами сохраняются в памяти значительно дольше, чем отдельные предметы. Если объекты расположены в строго продуманной системе, то их восприятие требует минимальных усилий, хаотическое же их расположение требует значительных волевых усилий. Схемы, отражающие отношения между понятиями, позволяют лучше сохранить в памяти ученика учебный материал.

Построение подобных иерархий отрабатывается по следующей схеме:

а) выбор основания для классификации;

б) разбиение всего множества рассматриваемых объектов по выбранному основанию на группы;

в) установление внутригрупповых связей и отношений;

г) установление межгрупповых отношений;

д) построение модели системы понятий, имеющей определенную логическую структуру.

В схемах и таблицах выделяются не только элементы системы, но и отражаются системообразующие отношения между ними. Они выступают в качестве модели структуры материала в сознании ученика, а также играют роль средства усвоения результатов обобщений.

Выражаясь образно, они играют роль «дорожных указателей», облегчающих движение в «лабиринте понятий». [7]

Конструирование схем и таблиц проводится так, чтобы в них отражались генетические связи, которые определяют основное содержание и структуру всей темы; они должны быть легко читаемы, в них особым способом должны быть выделены основные смысловые элементы.

Ценность их состоит в том, что по мере дальнейшего изучения материала они могут периодически обновляться.

Динамичность подобных схем способствует развитию динамичности умственной деятельности школьников, выражающейся в их способности включать известные понятия, факты в новые связи и отношения, причем это включение идет не спонтанно, а целенаправленно, по нужному руслу.

Методы работы с данными схемами могут быть различными: учитель проводит эвристическую беседу, выразив ее результаты в виде схемы; учитель предлагает учащимся план беседы, а затем по составленному плану проводит ее; учитель предлагает схему, по которой учащиеся самостоятельно проводят обобщение; учитель предлагаем самостоятельно обобщить материал и выразить результаты обобщения в виде схемы

К составлению систематизирующих таблиц и схем учащиеся должны подготавливаться постепенно. На первом этапе учащимся следует предлагать готовые схемы и таблицы. После уяснения их основного назначения, существенных сторон их составления школьникам можно дать заполнение таких схем и таблиц. Этап самостоятельного конструирования явится завершающим. Следовательно, вначале учитель выполняет основную роль, а затем постепенно происходит вытеснение его участия самостоятельной работой школьников.

Схемы, которые можно использовать при работе с внутрипонятийными и межпонятийными связями, различают по их назначению, степени абстрактности и широте охвата учебного материала.

Так, например, по назначению выделяют схемы, объекта (они отражают структуру объекта) и схемы ориентации в объектах (они отражают взаимосвязи между объектами). Примерами схем объектов могут служить те, которые изображены на рисунках 16,17, примерами схем ориентации в объектах — рисунке 30,31,32. [2]

Схемы объекта используются на этапе введения понятия и по способу взаимодействия связеобразующих элементов носят локальный характер. Схемы ориентации в объектах используются для тематического повторения и предназначены для систематизации и обобщения изученного учебного материала. Их ценность состоит в том, что они отражают то общее, что характеризует в сознании учащегося системные знания по изученной теме.[7]

2.3 Взаимосвязь алгебры и начала анализа в процессе решения задач

Наиболее полное осуществление принципа дифференцированного подхода к каждому учащемуся реализуется в процессе решения задач. Первое и основное требование к подбору задач состоит в том, чтобы каждая из них носила творческий характер, способствовала пониманию учащимися основ теории, приобщению их к той или иной важной математической идее. Решение задач должно быть важным средством интенсификации процесса обучения математике. Именно задачи могут обеспечить органическое единство изучения всех тем курса математики.

Задачный материал внутри каждой темы должен быть подобран таким образом, чтобы его решение способствовало уяснению учащимися данной темы и новых математических идей, заложенных в ней; помогало осуществить повторение предыдущего материала на основе нового, решить старые задачи новыми методами; содержало в себе пропедевтику последующих тем курса.[3]

В настоящей статье мы хотим показать реализацию принципа тесной взаимосвязи между различными темами курса алгебры и математического анализа в классах с углубленным изучением математики. Такая связь дает учителю возможность одновременно заниматься изучением сегодняшнего материала, повторением вчерашнего и подготовкой к освоению завтрашнего: тем самым каждая тема изучается не сама по себе, а в комплексе с другими. Это способствует развитию творческого мышления, экономии времени, интенсификации учебного процесса, лучшему усвоению материала, закреплению максимального количества навыков и умений.

Возможность осуществления этого принципа мы рассмотрим на примере решения задач, так или иначе связанных с темой «Многочлены».

В теме «Действительные числа» часто рассматриваются задачи на доказательство того факта, что данное число является иррациональным.

Пример 1. Доказать, что число а = Ö2 + Ö3 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть а — число рациональное. Тогда а2 = 5 + 2Ö6 и Ö6= -число рациональное. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно — число а = Ö2 + Ö3 иррациональное.

Пример 2. Доказать, что число а = 3Ö2 + 3Ö3 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть aÎQ, тогда

а3 = 2 + 3 + З3Ö6 (3Ö2 + 3Ö3), а3 - 5 = За3Ö6

и 3Ö6 = (а3 — 8) — число рациональное. Мы снова пришли к противоречию, доказывающему, что 3Ö2 + 3Ö3 — число иррациональное.

Заметим, что схема решения в обоих случаях одинакова. Предположив, что данное число рациональное после возведения в соответствующую степень, мы приходим к противоречию — в одной части равенства получается число иррациональное, в другой рациональное.

Казалось бы, нет никаких преград для решения подобных задач с другими числовыми данными. Однако следующий пример показывает, что это не совсем так.

Пример 3. Доказать, что число х0 = 3Ö2 + 3Ö4 иррациональное.

Решение. После возведения в куб получается равенство

или , (2)

которое не дает возможности сделать заключение, подобное сделанному при решении примеров 1 и 2. Приходится искать новые пути решения. Один из таких путей появляется после изучения в теме «Многочлены» следующей теоремы и ее следствий:

Пусть несократимая дробь х0 =(pÎZ, qÎN) является корнем многочлена апхn + ап-1хn-1 + . + а1х1 + а0 (ап ¹ 0) с целыми коэффициентами. Тогда р — делитель а0, q — делитель ап.

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Следствие 2. Всякий рациональный корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами является целым.

Теперь можно воспользоваться следующим алгоритмом для доказательства иррациональности числа а:

1. Составить приведенный многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число а.

2. Доказать, что он либо вовсе не имеет целых корней, либо ни один из его возможных целых корней не может быть равен а.

Возвратимся к примеру 3. Переписав равенство (2) в виде — 6x0 — 6 = 0, видим, что число хо = 3Ö2 + 3Ö4 является корнем приведенного многочлена х3 — 6х — 6. Число хо = 3Ö2 + 3Ö4 рациональным быть не может, так как иначе оно должно быть целым, но 2 < 3Ö2 + 3Ö4< 4, а число 3 корнем данного многочлена не является. Следовательно, х0 = 3Ö2 + 3Ö4 — число иррациональное.

Заметим, что описанный способ может быть применен и при решении примеров 1 и 2.

Пример 4. Составить многочлен с целыми коэффициентами, один из корней которого Ö2 + ÖЗ.

Решение: х0 = Ö2 + Ö3. Тогда . Искомый многочлен: х4 — 10х2 + 1.

Решение примеров 2 и 3 может служить мотивом и для доказательства интересного утверждения: если aÎN, bÎN, то число

3Öa + 3Öb может быть либо целым, либо иррациональным.

Действительно, 3Öa + 3Öb является корнем приведенного многочлена (х3 — (a+b))3 — 27abx3. Это приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Он не может иметь других рациональных корней, кроме целых. Следовательно, если его корень xо = 3Öa + 3Öb не является целым, то он иррационален.

Пример 5. Доказать, что 3Ö23 + 3Ö123 — иррациональное число.

Доказательство. Рассмотрим неравенства

2,5 < 3Ö23 < 3,

4,5 < 3Ö123 < 5,

7 < 3Ö23 + 3Ö123 < 8,

т. е. число 3Ö23 + 3Ö123 не является целым, а следовательно, оно иррационально.

При изучении темы «Многочлены» учащиеся производят деление многочлена на многочлен. Умение производить такое деление может в последующем облегчить решение многих задач: нахождение асимптот, вычисление производных, интегралов и т. д.

Пример 6. Найти наклонную асимптоту графика функции

Решение. Произведя деление многочленов, получим:

х3 - 3х + 1 = х - 1 +

Так как , то наклонной асимптотой является прямая у = х — 1.

(Решения такого типа используют в школах с углубленным изучением математики или лицеях)

Пример 7. Найти промежутки выпуклости графика функции

Решение. Деление многочлена 2х2 — 3х + 1 на многочлен х — 2 качественно облегчит нахождение второй производной:

Теперь легко находим:

y' = 2-, у" =

Следовательно, на промежутке (2; + ¥) график функции обращен выпуклостью вниз, а на промежутке (- ¥; 2) — выпуклостью вверх.

Преподавание таким образом станет интереснее, продуктивнее и будет соответствовать принципу интенсификации всего учебного процесса в школе.[7]

2.4 О взаимосвязях алгебры с геометрией

В обучении недопустим отрыв алгебры от геометрии. Напротив, когда нужно придать наглядность отвлеченным фактам и отношениям, когда нужны ускоренные методы решения задач и требуются надежные средства контроля, приходят на помощь геометрические представления.

Проследим, какие успехи уже достигнуты в отношении геометрических представлений в курсе алгебры и чего еще нужно добиваться в дальнейшем.

Уже в курсе математики 5 класса учащиеся, встречаясь с понятием «величина» и различных частных ее числовых значений, осмысливают отвлеченную схему геометрическими образами. Сюда относятся разного рода диаграммы: линейные, прямоугольные, столбчатые, секторные. Длины рек и высоты гор изображаются отрезками надлежащей длины; добыча угля, железа и тому подобного по годам — прямоугольниками надлежащей высоты с равными основаниями; распределение земельных угодий, бюджет времени школьника и т. п. — секторами круга, пропорциональными центральным углам. На этом этапе учащиеся знакомятся с масштабом. В данной связи нужно упомянуть чтение и в особенности составление планов и карт, укрепляющих идею пропорциональности.[8]

Весьма важный этап — переход к использованию числовой о с и, на которой числовые значения величины изображаются точками. Числовая ось естественно и неизбежно употребляется в связи с введением отрицательных чисел; однако вполне возможно и желательно, чтобы учащиеся ради разделения трудностей знакомились с нею ранее введения отрицательных чисел. Тогда пришлось бы говорить о числовой полупрямой, или числовом луче.

Должно быть очень хорошо разъяснено, что положительные значения величины изображаются отрезками, отложенными от начала в одном и том же положительном направлении (вправо); но если начало всех отрезков одно и то же, то достаточно указывать лишь их концы; таким образом, оказывается, что значения величин изображаются точками. Раньше введения отрицательных чисел учащиеся должны усвоить изображение точками на луче дробных чисел, заданных в виде обыкновенных или десятичных дробей.

При введении отрицательных чисел луч продолжается влево, превращаясь в прямую (ось). При этом абсолютное значение числа, сравнение положительных и отрицательных чисел по величине и четыре основных действия над этими числами получают наглядное истолкование.

При выполнении упражнений следует подчеркивать, что числовая ось может быть использована при рассмотрении любой величины, независимо от ее природы: на числовой оси могут быть изображены не только длины рек, высоты гор и прочие линейные величины, но также площади государств, объемы сосудов, температуры, скорости передвижения различных видов транспорта и т. д.

Координатная плоскость в качестве отвлеченного объекта рассмотрения составляет пункт программы 7 класса; но в пропедевтическом порядке учащиеся встречаются с нею и раньше, в 6 классе, например, в связи с температурными графиками или графиками движения поездов. Координатная плоскость служит для изображения, в виде точек на плоскости, числовых значений пары величин (таковы в названных примерах «время — температура» или «время — пройденный путь»).

Усвоение соответствия между парами чисел и точками координатной плоскости, а также обратного соответствия (в первую очередь рассматриваемого в аналитической геометрии) не представляет затруднений для учащихся. Гораздо труднее ими усваивается соответствие между уравнением и его графиком — геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Но это и во много раз важнее. Чтобы установить соответствие между данным уравнением и его графиком, у учащегося нет другого средства, как построить на чертеже (листе клетчатой бумаги) достаточное число точек графика и затем соединить их плавной кривой. Правда, в немногих простых случаях можно найти график путем логического рассуждения или, применяя более сильные средства (например, средства математического анализа), установить, по крайней мере, некоторые его свойства. Однако логика школьника на данном этапе еще недостаточно надежна, чтобы на нее можно было смело опереться; ограничиться упомянутыми простейшими случаями недостаточно, а усовершенствованных средств еще нет в распоряжении учеников.

Поэтому необходимо научить их при первой же встрече с координатной плоскостью строить графики уравнений по точкам. Это — главная задача, которую должен ставить перед собой преподаватель, работая в классе с координатной сеткой. Конечно, имеется в виду усвоение координатного принципа; из него вытекают детализация, особенности частных случаев.[9]

В 7 классе, согласно программе, надлежит заниматься прямыми линиями; однако показывать в числе первых примеров также и простейшие криволинейные графики (например, обратную пропорциональность) было бы весьма желательно. По поводу прямых линий наиболее важно иметь в виду следующие замечания

1.Требование метрической точности (наличие числового соответствия между предложенной задачей и чертежом) должно быть выполнено во всех случаях.

2. Следует уделять особое внимание наклону прямых. Под «наклоном» нужно понимать то же, что угловой коэффициент, т. е. тангенс угла, который прямая образует с осью Ох. Для учащихся, еще не знающих тригонометрии, ; «наклон» есть коэффициент при х в уравнении, решенном относительно у; чтобы увидеть его на чертеже, достаточно найти на прямой две «вершинки» (лучше — соседние) и, выделив прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям, для которого отрезок между «вершинками» служит гипотенузой, взять (с учетом знака) отношение вертикального катета к горизонтальному.

3. Необходимо добиться умения находить отрезки, которые прямая образует на координатных осях.

4. Наиболее трудным для усвоения является навык: провести прямую через две точки с заданными числовыми координатами. В уравнении у=ах+b буквенные коэффициенты а и b следует считать неизвестными и подбирать их значения в соответствии с требованиями задачи: получается линейная система.

Свойства трехчлена второй степени (в 8 классе) должны быть рассматриваемы в теснейшей связи с его графиком.

После рассмотрения в 8 классе графика функции у= может быть в порядке обобщения рассмотрен график дробной линейной функции

с числовыми коэффициентами; этот график строится учащимися по точкам в порядке упражнений. В результате построения учащиеся увидят, что график дробной линейной функции есть уже знакомая им кривая — гипербола. Вслед за этим учитель покажет учащимся, что построение графика дробной линейной функции легче выполнить после некоторых преобразований. Именно: для построения графика функции

предварительно выполняются следующие преобразования:

а) выделяется из дроби целая часть:

б) выносится за скобки коэффициент при х в знаменателе и записывается результат в виде:

Теперь ясно видно, что график данной функции может быть получен из графика функции

путем перенесения последнего вправо на единицы масштаба и вверх на единицы масштаба; асимптотами перенесенного графика будут служить прямые, полученные путем перенесения оси ординат и оси абсцисс соответственно на -т единицы масштаба вправо и на единицы масштаба вверх; поэтому построение графика данной функции сводится к построению графика функции , отнесенного к прямым и как к осям.

В 9 классе следует уделить внимание графикам показательной и логарифмической функции.

Преподаватель должен во время работы с графиками функций следить за правильным пониманием и активным употреблением учащимися терминов, относящихся к возрастанию и убыванию функций. Надо, чтобы учащиеся, постепенно осваиваясь с этими терминами, употребляли их в более сокращенной редакции. Например, сначала, глядя на чертеж, следует «поведение» функции

у=х2—6x +11

характеризовать словами: «при возрастании переменной х от 3 до бесконечности функция у возрастает от 2 до бесконечности, а при возрастании переменной х от минус бесконечности до 3 функция у убывает от бесконечности до 2; в дальнейшем можно говорить короче: «функция у возрастает при x>3 от 2 до +¥ и убывает при х<;3 от +¥ до 2». «При х=3 функция у принимает наименьшее значение 2», или «достигает минимум 2».

Следует отметить, что важное значение имеют и геометрические задачи, которые сводятся к решению уравнений, можно проиллюстрировать такими задачами.

Сущность слияния областей математики может быть показанa и в следующих примерах.

Задача. В игре «Зарница» участвовало 72% всех школьников города. Из числа участников 60% были мальчики, а остальные, на которых приходилось 9000 человек, — девочки. Сколько школьников не участвовало в игре?

Данные задачи можно занести в таблицу

Обычный путь решения — найти количество участвовавших из чего количество неучаствующих может быть выведено путем умножения на .

Количество неучаствовавших: = 8750.

Геометрия может сыграть очень важную роль здесь, объясняя метод пропорции таким образом (рис. 33,а): точка D делит [ВС] в "отношении 72 : 28; точка Е делит [AD] в отношении 60 : 40. Площадь DBED — 9000 см2. Найти площадь DADC. Площадь каждого треугольника на диаграмме представляет группу учащихся (в масштабе: 1 см2 представляет 1 учащегося): Sabs — представляет число мальчиков,

Sbed — представляет число девочек,

Sadc — представляет число не участвовавших в игре учащихся.

Эту ситуацию геометрически можно представить с помощью прямоугольников или параллелограммов (см. рис. 33, б). Этот квадрат получен из треугольника на рис. 33, а, где каждый треугольник BAD и ADC достроен до прямоугольника.[6]

Глава 3. Некоторые пути реализации внутрипредметных связей с помощью методов преподавания

3.1 Обобщающее повторение как средство реализации внутрипредметных связей

В педагогической литературе существуют различные классификации видов повторения.

1. По временному признаку в начале учебного года, в различное время года, после изучения отдельных тем, разделов учебного материала; в конце учебного года всего курса.

2. По основной дидактической цели: опорное; первично закрепляющее; подкрепляющее (предупреждающее), корректирующее; углубляющее; обобщающее — систематизирующее.

3. По частоте использования: эпизодическое; периодическое; регулярное.

4. По месту в процессе усвоения:

a) Повторение, предшествующее изучению нового материала, при котором вспоминаются те факты из ранее пройденного, которые необходимы для полноценного усвоения нового.

b) Повторение, сопутствующее изучению нового материала; этот вид повторения ставит своей целью восстановить в памяти ученика те знания, которые входят в содержание вновь изучаемого, а так же провести сравнение, сопоставление и установление логических связей ранее пройденного и нового материала.

c) Повторение следующее за изучением нового материала и обеспечивающее закрепление полученных знаний, выработку твёрдых умений и навыков; этот вид повторения особо направлен на систематизацию и обобщение полученных знаний с целью их дальнейшего, более эффективного использования.

Обобщение в сознании учащихся при существующей структуре курса и используемой технологии обучения сами по себе, произвольно не возникают. Школьники не всегда осознают, что любому теоретическому материалу изучаемого курса присуща определенная система. Отсутствие у учащихся умения обобщать есть одна из основных причин слабого овладения ими системой знаний. Поэтому на определенном этапе обучения необходимы перекомпановки, соподчинения, систематизации материала, появление новых связей и отношений между элементами изученной суммы знаний.[7]

Это возможно при обобщающем повторении. Оно позволяет углубить, расширить, обобщить и систематизировать знания. Если в какой-либо теме учебного курса слабо будут реализованы внутрипредметные связи, то обобщающее повторение призвано устранить этот недостаток; с его помощью можно устранить те связи и отношения между элементами знаний, которые ранее не были раскрыты.

Дадим классификацию обобщающих повторений исходя из их содержания, максимально ориентированного на учет возрастных и индивидуальных особенностей учащихся. Обобщающее повторение рассматриваем на уровне: понятий, системы понятий и теорий. Наиболее сложным является организация обобщающего повторения на уровне теорий в связи с чем первые два уровня в большей степени приемлемы в обучении учащихся младших и средних школьных возрастов, последний же дает большой эффект в основном лишь в старших классах.

На повторно - обобщающие уроки следует выносить прежде всего материал, знакомящий учащихся с ведущими идеями курса и имеющий важное мировоззренческое значение, а так же материал, который впоследствии из предмета изучения перерастет в средство изучения. Объектами обобщения могут быть понятия, методы доказательства теорем, методы решения задач и т.д. Содержание обобщающих повторений можно строить либо на системе упражнений, либо на сочетании теоретического и практического материала.

Остановимся на характеристике выделенных уровней обобщающего повторения.

1. Обобщающее повторение на уровне понятий.

Обобщающее повторение на уровне понятий позволяет привить учащимся умение выделять существенные признаки понятий, давать понятиям определения через различную совокупность существенных признаков или через другое родовое понятие, умение подводить объект под понятие. На данном уровне обобщающего повторения отрабатываются опорные знания темы в аспекте тех связей и отношений, которые были использованы при первоначальном изучении материала. Большую роль в организации этого вида повторения играют внутрипонятийные связи.

Задания, используемые на повторно — обобщающих уроках такого типа, по своим функциональным назначениям можно разделить на следующие группы:

a) Способствующие воспроизведению факта, закона, алгоритма, формулировок определений и теорем.

b) Требующие анализа какого-либо факта, закона, ситуации.

c) Формирующие умения самостоятельно иллюстрировать теоретические положения примерами, в том числе и из практики.

d) Приводящие к синтезу знаний и их обобщению.

e) Развивающие мышление учащихся.

Приведем примеры знаний, которые можно использовать при обобщающем повторении на уровне понятий в различных темах школьного курса математики.

1. При обобщении темы «Многогранники» курса геометрии 11 класса учащимся может быть предложено такое задание.

Существует ли четырехугольная пирамида, две противоположные грани которой перпендикулярны основанию пирамиды?

Ответом может служить рисунок 34. В пирамиде SABCD грани SBC и SAD перпендикулярны основанию ABCD. (Искомая пирамида получена из треугольной пирамиды SKCD, у которой грани SCK и SDK перпендикулярны основанию - KCD.)

Для проведения обобщающего повторения по теме „Производная" можно повторить определение производной, алгоритм нахождения производной функции по определению, основные правила и формулы, связанные с производной.

2. Для того чтобы обучить учащихся различать свойства и признаки понятий, полезной при организации обобщающего повторения на уровне понятий окажется работа по переформулированию теорем в условной форме: «Если ., то .».

Действительно, как узнать о свойстве или о признаке идет речь в теореме? На этот вопрос легко ответить, если теорему сформулировать в условной форме. Если окажется, что рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие окажется в заключение теоремы, то она выражает признак. Покажем на примерах.

a) Теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Переформулируем теорему из категорической формы в условную. Будем иметь: «Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Так как понятие прямоугольный треугольник оказалось в условии теоремы, то теорема выражает собой свойство этого понятия.

b) Теорема: «Треугольник, у которого углы при основании равны, равнобедренный». Сформулируем теорему в терминах «если ., то .». Будем иметь: «Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный». Так как понятие равнобедренный треугольник оказалось в заключение теоремы, то эта теорема выражает собой признак.

Заметим, что некоторые теоремы одновременно выражают как свойство, так и признак одного и того же понятия. Так обстоит дело в последнем случае; сформулировать теорему в виде: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны», мы имели бы свойства равнобедренного треугольника.[7]

2. Обобщающее повторение на уровне системы понятий.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий преследует цель выработать у учащихся умение сопоставлять изученные понятия, отыскивать новые связи и отношения между ними, прослеживать развитие понятий в их иерархических зависимостях, т.е. устанавливать подчиненность вида роду в случае сопоставимых понятий. При этом происходит либо обогащение и расширение ранее изученных понятий.

Если на уровне понятий обобщающее повторение организовывалось с помощью методов наблюдения и сравнения, то на уровне системы понятий на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий. Это дает возможность классифицировать понятия не только по их природе, но, что еще более существенно, по отношениям между ними.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий предлагает такую ориентацию учащихся в учебном материале, которая бы позволяла определить и усвоить общий способ преобразования этого материала на основе соответствующих предметных и знаковых моделей. К таким знаковым моделям относятся классификационные схемы, сводные таблицы, определенные записи, опорные конспекты. Они позволяют придать полученным при обобщающем повторении систематизированным знаниям определенную структуру.

Покажем на примерах, как может быть организовано обобщающее повторение на уровне системы понятий.

1. В теме «Сумма углов треугольника» курса геометрии 7 класса центральными являются признаки и свойства параллельных прямых, теорема о сумме углов треугольника.

Учитель может для обобщающего урока заготовить четыре чертежа (рис. 35 — 36), по которым учащимся будет предложено доказать теорему о сумме углов треугольника. Доказательства, проводимые по каждому из рисунков, подключают каждый раз другой набор знаний, полученных школьниками в этой теме.

В случае, изображенном на рисунке 35 школьники используют свойство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей, понятие развернутого угла; в случае изображенном на рисунке 36, в работу подключается понятие вертикальных углов и их свойства.

Остановимся более подробно на доказательстве теоремы по рисунку 38.

Дано: D ABC. Доказать: ÐA+ÐB+ÐC=180°.

Доказательство.

Проведём прямые AD, BF и ЕС, перпендикулярные прямой АС. Так как AD^AC и EC^AC, то AD||BF.

Так как BF^AC и EC^AC, то BF||ЕС ÞAD||EC.

Ð5+Ð1=90°, Ð6+Ð4=90°. Ð5+Ð1+Ð6+Ð4=180°. (*)

При такой работе над центральной теоремой курса геометрии учащиеся сами устанавливают связи между элементами знаний.

2. Выше отмечалось, что организация обобщающего повторения на уровне системы понятий ставит цель сформировать у учащихся умение подводить объект под понятие. Зачастую, если речь идёт о теоремах, выражающих свойства и признаки понятий, учитель ограничивается повторением формулировок теорем в том виде, в котором они давались при первоначальном введении. Больше же пользы может оказать переосмысление теорем в виде указаний к их использованию.

Таким образом, можно поступить, например, при обобщении тем «Параллельность прямых и плоскостей» и «Перпендикулярность прямых и плоскостей в курсе стереометрии 10 класса.

1) Если надо установить параллельность двух плоскостей, то следует

проверить одно из условий:

- найдутся ли в одной из плоскостей две прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым в другой плоскости;

- найдется ли плоскость, параллельная каждой из двух данных плоскостей;

- найдется ли прямая, перпендикулярная каждой из двух плоскостей.

2) Если надо установить перпендикулярность прямой и плоскости, то следует проверить одно из условий:

- будет ли прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости;

- будет ли эта плоскость перпендикулярна прямой, параллельной данной плоскости;

- будет ли прямая перпендикулярна плоскости, параллельной данной плоскости;

- будет ли прямая перпендикулярна линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей, одна из которых данная, а в другой лежит эта прямая.

Аналогично можно поступать и в случаях установления параллельности прямой и плоскости, параллельности двух прямых, перпендикулярности двух плоскостей, перпендикулярности двух прямых.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий формирует у учащихся целостное представление об изучаемом материале. Следует при этом отличать системные знания от систематичных. Систематичность знаний есть лишь необходимое, но недостаточное условие формирования системных знаний. Если систематичность знаний подразумевает реализацию линейных связей, то систематичность знаний — реализацию объемных связей, получаемых путем структурирования линейных. Объемные связи при повторном изложении материала на уроках обобщающего повторения разворачиваются в линейные, но они уже отличаются от тех, которые конструировались в системе первичного изложения материала.

3. Обобщающее повторение на уровне теорий.

На уровне теорий обобщающее повторение дает определенную трактовку изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных идей, которые рассматриваются в курсе. На этом уровне все большее место начинает занимать обобщение и конкретизация в их единство.

Основная сущность обобщающего повторения данного вида состоит в том, что строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений, понятий, выясняется не столько содержание понятий, сколько их происхождение, и анализу подвергается природа самих понятий.

Приведем примеры обобщающего повторения на уровне теорий.

В курсе "Алгебра и начала анализа" при обобщении материала темы "Производная" на уровне теорий можно с позиции теории дифференциального исчисления показать учащимся, как с помощью понятия производной получают единую трактовку такие понятия, как скорость химической реакции, мгновенная скорость прямолинейного движения и т. д.

Целесообразно так же более тесно связать понятие производной с такими содержательно — методическими линиями курса математики, как линия уравнений и неравенств, линия тождественных преобразований.

Понятие производной функции может быть использовано при доказательстве тождеств, усилится прикладная направленность курса, расширится класс решаемых задач.

Рассмотрим решение задачи, которая может быть предложена учащимся.

Докажите, что для всех неотрицательных х справедливо неравенство:

Рассмотрим функцию

на промежутке [0;¥).

Найдём производную этой функции:

При любом значении х >0 справедливо неравенство f (х)>0. Это значит, что на промежутке (0;+¥) функция f(x) возрастает. В то же время замечаем, что функция f(x) на промежутке х>0 есть непрерывная функция, как сумма непрерывных функций. А это значит, что она на левом конце этого промежутка при х=0 принимает своё наименьшее значение.

А так как

то для любого х³0 f(x)³0, т.е.

откуда

Рассмотрим ещё один пример обобщающего повторения на уровне теорий.

Обобщая материал о применении производной к приближённым вычислениям, можно показать учащимся идею линеаризации функции. Суть этой идеи состоит в следующем.

В случае непрерывности функции у=f(x) в некоторой точке х0 её значения для всех значений аргумента из достаточно малой окрестности точки х0 приближённо равны значению f(x0). Если же к свойству непрерывности функции в точке х0 добавить ещё одно свойство, а именно её дифференцируемость в этой точке, то значения функции y=f(x) в достаточно малой окрестности точки х0 приближённо могут быть заменены значениями некоторой линейной функции y=kx+b (как впоследствии будет выяснено, это уравнение есть уравнение касательной к кривой y=f(x), проведённой к ней в точке с абциссой х0).

Фактически это следует из разложения функции в ряд Тейлора. Действительно, пусть мы имеем разложение

Если бы функция f(x) в точке x0 обладала лишь свойством непрерывности в точке x0, то мы имели бы приближённое равенство f(x)»f(x0).

Если же функция f(x) в точке x0 имеет первую производную, то приближение будет более точным; к правой части равенства f(x)=f(x0) добавится ещё одно слагаемое

т.е. имеет место приближённое равенство:

При наличии второй производной функции f(x) в точке х0 будем иметь

Следовательно, если функция бесконечно дифференцируема, то приближение может быть сделано с любой степенью точности.

Однако в курсе алгебры и начал анализа рассматривается лишь понятие первой производной. Поэтому при изучении применений производной к приближённым вычислениям ограничиваются лишь двумя первыми слагаемыми ряда Тейлора, т.е. используют приближённое равенство:

Обобщение формулы

на уровне идеи аппроксимации даёт представление о решении этих вопросов. Если функция имеет производные любого порядка, то её можно приблизить многочленом с какой угодно точностью. Так получаются ряды для функций

sin х , cos x , е х , 1n x .

Геометрически это означает, что график функции n-раз, дифференцируемой в точке х0, вблизи этой точки можно приближённо считать графиком некоторого многочлена n-ой степени.

Конечно, в школьном курсе нет возможности рассматривать с учащимися этот вопрос в таком общем плане. Но внимание к постановке задачи, отдельные примеры не только расширяют кругозор учащихся, но и помогут преодолеть некоторые методические трудности.

Одной из таких трудностей, как показал опыт, является переход от равенства

к равенству

Возникновение этой трудности можно предотвратить уже при постановке проблемы, если начать изложение примерно таким пояснением: «Вы знаете, что для функции f(x), непрерывной в точке х0, выполняется равенство

С другой стороны, если функция в некоторой точке х0 имеет предел, то её значения вблизи х0 приближённо равны этому пределу, т.е. для х»х0.

Отсюда следует, что для непрерывной в х0 функции её значения вблизи х0 можно приближённо вычислять по формуле f(x)=f(xo).

то теперь вывод формулы получается без особого труда: так как

то для Dх»0 выполняется равенство

отсюда

Такой подход к обобщению материала по применению производной к приближённым вычислениям позволяет представить перед учащимися формулу

f ( х 0 + Dх) » f ( х 0 ) + f ' ( х 0 ) D х

как частный случай решения общей задачи приближения функции многочленом, что даёт заменять сложные вычисления простыми.

Для наглядности иллюстрации формулы можно использовать геометрические примеры.

Рассматриваем приращение площади круга (рис. 39). Пусть радиус круга ОА=r.

Тогда площадь его, как функция радиуса, выражается формулой S(r)=pr2.

Дав радиусу приращение Dr, можем заметить, что DS(r)~2prDr, т.е. площадь заштрихованного кольца приближённо равна произведению длины окружности радиуса г на ширину кольца (приращение Dr).

Множитель 2pr, стоящий в правой части равенства, есть производная функции S(r), так как S'(r)=2pr. Мы снова имеем формулу DS(r)»S'(r)Dr. Чем тоньше кольцо, т.е. чем меньше Dr, тем меньше будет погрешность при замене площади кольца выражением 2prDr.

Если учащиеся усвоят, что формула f(x0+Dx)=f(х0)+f(х0)Dх даёт возможность приблизить всякую дифференцируемую функцию некоторой линейной, то это даст возможность разъяснить не только получение уравнения касательной.

Традиционно касательную трактуют как предельное положение секущей. Однако остаётся вне поля зрения важнейшее свойство касательной: касательная из всех прямых, проходящих через точку с абсциссой х0, теснее всех прилегает к кривой. Такая трактовка сразу же позволяет использовать формулу f(х0+Dх)»f(х0)+f(х0)Dх. Касательной к графику функции y=f(x) в точке х0 является график той линейной функции, которая приближает f(x).[8]

Рассмотрев эту приближённую формулу, при изучении вопроса о касательной к графику функции учащимся целесообразно сообщить, что геометрический смысл этой формулы состоит в том, что ордината точки графика функции f(x) заменяется ординатой соответствующей точки касательной.

Проиллюстрируем формулу f(x0+Dx)»f(x0)+f(х0)Dх несколькими примерами.

Известно, что значение синуса для достаточно малых значений аргумента приближённо равно значению аргумента. Это свойство связано с только что рассмотренным геометрическим смыслом приближённой формулы f(х0+Dх)»f(х0)+f(х0)Dх.

Действительно, построив график функции y=sinx и проведя касательную к этому графику в точке (0;0) (рис.40), мы замечаем, что ею будет служить прямая у=х. И тогда при вычислении значений синуса малых углов мы заменяем искомую ординату точки графика y=sinx ординатой соответствующей точки касательной, а так как касательная есть у=х, то искомое значение синуса мы заменяем соответствующим значением аргумента. Так, вычисляя значения синуса для угла в один градус, мы, переводя градусы в радианы, будем иметь: sin l°»sin 0,017-0,017.

Подобную картину мы наблюдаем и в случае вычисления для малых углов значений тангенса. В точке (0;0) касательной к графику функции тангенса будет прямая у=х (в этом можно убедиться, подставив в формулу уравнения касательной y=y0+f (х0)(х-х0) необходимые значения у0, х0, f(x0) для функции y=tg х.)

Тогда вычисляя значения тангенса для малых углов, мы приближённо заменяем эти значения, значениями аргумента, выразив их предварительно в радианах.

Последние два примера могут быть использованы учителем при изучении производных тригонометрических функций.

Замечание 1. Для приближённого равенства sinx=x характерно то, что для малых положительных значений аргумента х значения синуса подсчитаны с избытком. На рисунке 40 график функции y=sinx расположен для х>0 ниже прямой у=х.

Замечание 2. В случае тангенса его значения для малых положительных углов подсчитываются с недостатком. На рисунке 41 график y=tg x расположен для х>0 выше прямой у=х.

Обобщающее повторение на уровне теорий непосредственно освещает полученные знания не только в плане внутрипредметных связей, но и межпредметных, так как многие понятия различных учебных предметов получают единую трактовку с позиции одной какой-нибудь теории. На уровне теорий обобщающее повторение вызывает у школьников широкие межсистемные ассоциации, что позволяет им осуществлять систематизированный перенос знаний из одного учебного предмета в другой.

Основная задача при обобщающем повторении на уровне теорий -установление общих закономерностей, причинно-следственных отношений, применение общих положений к конкретным фактам, умение самостоятельно проводить объяснение и выдвигать гипотезы.

Материал, выносимый на обобщающее повторение на уровне теорий, должен представлять собой логическую систему, вопросы которой объединены той или иной фундаментальной теорией. Для проведения обобщающего повторения на уровне теорий недостаточно использовать только одну какую-нибудь группу понятий; требуется применение системы различного рода общих понятий и раскрытие этих понятий с единых теоретических позиций при использовании основополагающей идеи.

На этом уровне обобщающего повторения можно проследить путь развития того или иного закона, распространение некоторых из них на новые объекты и отношения между ними, выяснить границы применимости изученных законов.[8]

3.2 Сравнение как эффективный метод реализации внутрипредметных связей

Значительное влияние на реализацию внутрипредметных связей, на формирование системы знаний оказывает изложение материала в учебниках и методы, с помощью которых этот материал преподаётся. Существенное значение имеет метод сравнения.

Рассмотрим пример. Если мы хотим сформировать у учащихся понятие функции, то, естественно, следует подобрать такие зависимости переменных, чтобы некоторые из них были бы функциями, а некоторые нет. Только на основе сравнения возможно вычленение из множества всех зависимостей тех, которые являются функциональными.[7]

Следует заметить, что учащиеся зачастую, сравнивая два объекта по сходным внешним данным, несущественным свойствам, допускают ошибки, связанные с переносом свойств одного объекта на другой (т.е. используется метод аналогии, который не имеет статуса метода доказательства). Для подтверждения приведём примеры. 1. Учащимся 11 классов предлагалось решить два уравнения:

а)

б)

Первое уравнение школьники решили верно. Вот решение:

1gx-lg 0,4 = lg0,7

lgx = lg 0,7 + lg 0,4

lgx = lg (0,7×0,4)

lgx = lg 0,28

x = 0,28

Второе уравнение все учащиеся решили неверно; решение его проводилось по той же схеме, что и решение первого.

lg х + lg 0,5 = lg 0,25

lg x = lg 0,25 -lg 0,5

1g x = 1g

lg x = lg 0,5

x = 0,5

Но заметим, что во втором уравнении нужно использовать тождество, известное учащимся из 8 класса:

и тогда решение второго уравнения было бы таким: 1g+|lg0,5|=lg0,25.

Так под знаком десятичного логарифма стоит число 0,5, меньше единицы, то значение lg0,5 по знаку отрицательно, а значит:

1gx-lg0,5=lg0,25

1gx=lg0,25+lg0,5

lgx=lg(0,25×0,5)

lgx=lg0,125

x=0,125

Ошибка порождена внешним сходством этих двух уравнений, что и привело к «соскальзыванию» на известный способ действия. Правда здесь имеет место и ещё одна причина: у учащихся плохо сформирован навык обращения с тождеством

На уроках всегда это тождество используется слева направо, но для глубокого осмысления нужны упражнения на его использование справа налево, т.е.

2. Отрабатывая с учащимися умение решать иррациональные уравнения методом уединения одного из корней, учитель обычно вначале предлагает школьникам уравнения вида:

а затем уравнения более сложные:

Ученики без особого труда справляются с решение подобных уравнений. Если после этого учащимся предложить уравнение то они чаще всего, обнаружив сходство с предыдущими примерами, решают его тем же методом, хотя для получения верного ответа достаточно было использовать то, арифметический квадратный корень не должен быть отрицательным, а в первой же части этого уравнения стоит отрицательное число (-2). Причиной неправильного (вернее, нерационального) решения последнего уравнения явилось лишь его внешнее сходство с предыдущими уравнениями. В данном случае более слабая ассоциация (она связана с понятием арифметического квадратного корня) была подавлена более сильной и привычной ассоциацией по сходству.

Метод сравнения играет исключительно важное значение при формировании математических умений в сходных ситуациях, ибо при выполнении упражнений возможно образование ошибок типа „смыкания". Приведём примеры.

3. В курсе геометрии 7 класса (учебник «Геометрия» Атанасян JI.C.) в главе «Треугольники» изучаются замечательные свойства биссектрис, медиан и высот треугольника:

1) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;

3) Медианы треугольника пересекаются в одной точке;

4) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Учащиеся, положив в основу внешнее сходство теорем, формулировали последнюю теорему ошибочно: «Высоты треугольника пересекаются в одной точке».

Задача учителя - организовать такую учебно-познавательную деятельность учащихся, результатом которой явилось бы сознательное усвоение формулировки последней теоремы. Для этого одной группе школьников следует предложить сделать построение высот в остроугольном треугольнике, а другой - в тупоугольном. Оппонентами учащихся, которые неверно дадут формулировку теоремы, выступит та группа школьников, которая проводила построения в тупоугольном треугольнике. Затем надо предложить им продолжить высоты треугольников, в результате чего они придут к правильной формулировке теоремы. Заметим, что в основе этой работы лежит метод сравнения, который предупреждает появление внутрипредметных связей отрицательного действия. Метод сравнения следует рассматривать как средство, способствующее упрочению и углублению знаний. Сравнение позволяет раскрывать отношения между понятиями, что способствует выработке умения классифицировать математические понятия, умения находить сходства и различия между математическими объектами.[3]

4. Перед уроком, на котором будет доказываться теорема Виета, целесообразно включить в домашнюю работу учащихся задание по заполнению таблицы 2. В результате наблюдения и сравнения школьники ещё до изучения теоремы Виета смогут самостоятельно сделать соответствующие выводы.

Таблица 2

5. Полезным для отработки определения логарифма может быть такое задание: «Сравните, не прибегая к приведению логарифмов к одному и тому же основанию, числа:

a) log25 и log32;

b) log4l,8 и log5l,8;

c) Iog3sin50° и log3sinl.»

Рассуждения могут проводиться следующим образом. Так как логарифм числа есть показатель степени, в какую нужно возвести основание, чтобы получить это число, и, учитывая, что 2<3 (случай а), для получения числа 5 надо 2 возвести в степень с большим показателем, чем показатель степени числа 3 для получения числа 2. Итак, log25>log32.

6. При изучении в старших классах степенной функции у=ха полезно организовать сравнительный анализ свойств функций для различных показателей а. Результаты можно оформить в виде таблицы 3.

Таблица 3.

7. При введении понятия геометрическая прогрессия эффективной окажется работа учащихся по сравнению между собой нескольких последовательностей:

2,7,9,12, . -3,9,-27,81, .

3,5,7,9,11, . 1,2,3,4,5, .

4,8,16,32, . -17,25,36,2,18, .

Сравнивая между собой эти последовательности, школьники обнаружат среди них такие, которые образованы при помощи одного и того же, общего для всех свойства, а затем установят и сам способ их конструирования.

8. В плане сравнения значительный интерес может представить подбор задач, фабульное содержание которых было бы различно, но чтобы все они решались одним методом, более того, чтобы все они моделировались, например, одной и той же системой уравнений. Приведём примеры таких задач.

a) Две трубы, включённые одновременно, заполняют бассейн за 3 часа. За какое время заполнит бассейн каждая из труб в отдельности, если за час первая труба заполняет больше второй трубы на 1/5 бассейна?

b) Производительность труда одного токаря на 20% выше, чем у второго. За какое время, работая отдельно, каждый из них закончит работу, если, работая вместе, они выполняют её за 3 часа?

c) Два велосипедиста, выехавшие навстречу друг другу, встретились через 3 часа. За час первый велосипедист проезжает на 0,2 пути больше второго. За какое время проедет каждый из велосипедистов весь путь?[2]

Решение этих трёх различных по сюжету задач приведёт к одной и той же системе уравнений:

3.3 Самостоятельная работа учащихся

Применение любого метода обучения предполагает соразмерное сочетание его с самостоятельной работой учащихся, ибо учение следует рассматривать не только как воспроизведение и запоминание учебного материала, а, в первую очередь, как активную познавательную деятельность, направленную на умственную переработку этого материала, что достигается самостоятельной работой школьников.

Как правило, в школе на самостоятельную работу учителем отводится очень мало времени, и в основном такая работа выполняется в виде заданий по образцу. Для глубокого изучения учебного материала необходимо разумное сочетание различных видов самостоятельных работ на уроке.[3]

Обучающие и проверочные самостоятельные работы по степени самостоятельности учащиеся можно подразделить на виды: самостоятельные работы по образцу; самостоятельные работы с указанием к их выполнению; самостоятельные работы вариативного характера; самостоятельные работы повышенной трудности.

1. Самостоятельные работы по образцу.

Эти работы представляют собой первую степень формирования умений и навыков самостоятельной деятельности учащихся. Эта деятельность направлена на овладение школьниками основными умениями и навыками, способами работы. Реализация внутрипредметных связей в таких самостоятельных работах осуществляется путём жёсткой последовательности указаний, которые должен выполнять ученик.

Приведём пример:

1. Учитель показывает образец решения уравнения 2х2 - 5х — 9=0 помощью формулы корней квадратного уравнения, после чего учащимся предлагается решить уравнения:

3 х 2 + 7 х - 12 = 0;5х2-х-14 = 0 .

2. Самостоятельные работы с указанием к выполнению.

Эти указания должны давать лишь общее направление способа действия, и задача учащихся - самостоятельно выделить те действия, которые направлены на выполнение предложенного задания. Такой вид работы определяет более высокий уровень умений учащихся реализовывать внутрипредметные связи.

1. Учащимся предлагается задача и указывается, какой теоремой нужно воспользоваться для её решения.

2. Учащимся предлагается задача на доказательство и указывается, какое дополнительное построение следует произвести.

3. Вычислите значение выражения:

1000000 - (1000000 - (1000000 - (1000000 - 999999))), воспользовавшись правилом раскрытия скобок.[7]

3. Самостоятельные работы вариативного характера.

Такого вида работы предполагают частичное изменение условий задач, которые до этого решались. Реализация внутрипредметных связей осуществляется учащимися на уровне переноса знаний, умений и навыков в новые условия. Такой вид самостоятельных работ, требующий более сложных видов деятельности, позволяет школьникам накапливать опыт творческой деятельности. [7]

1. Если учащимся предлагались раньше задания на прямое использование формул сокращённого умножения, то вариативной самостоятельной работой может быть работа по выполнению таких заданий.

Заполните пропуски:

a) (?-9с2)2=25а2-?+?;

b) ?+30ху+9у2=(?+Зу)2;

c) (5х+?)2=?+70ху+?;

d) (9a-?)2=?-?+100b2.

2. Заполните пропуски таким образом, чтобы стало возможным вынесение за скобки общего множителя:

a) х2 .х3 .х5;

b) .+b3- .;

c) (у+b)2+3а( .)3-8( .);

d) 3n+1+ .+8 .

3. Восстановите коэффициенты одночленов в первом многочлене:

a) (?а2+?а - ?)+(Зa2+2a+8)=7а2 – 8a+5;

b) (?с - ?ab) - (4аb - Зс)=8ab - 12с.

4. Выпишите пропущенные члены так, чтобы получилось тождество:

a) (4с -?)-(?- Зb+?)= 2с – 8b - 5;

b) (2х2 - 7у) - (?+?) - (4у+5х2)= - (16у+5х2).

5. Необходимо предложить учащимся решить задачу: «На плоскости задано 7 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько получится отрезков, если каждую пару точек соединить отрезком?»

После этого для самостоятельного решения школьникам предлагается задача: «В турнире участвовало 7 шахматистов.

Сколько партий было сыграно, если каждый с каждым сыграл по одной партии?»

На первый взгляд это разные задачи, но способ решения первой задачи можно использовать для решения второй.

4. Самостоятельные работы повышенной трудности.

Эти работы предполагают творческую самостоятельность учащихся и характеризуют самый высокий уровень умений реализации внутрипредметных связей. В процессе выполнения таких работ школьники раскрывают для себя новые стороны изучаемого материала и наиболее полно проявляют свои математические способности. Приведём примеры указанного вида самостоятельных работ.[7]

1. Ковёр с отрезанными углами (рис 42, а) требуется перекроить так, чтобы получился прямоугольный ковёр.

(Решение этой задачи дано на рисунке 42, б.)

2. Решите уравнения и сделайте вывод о корнях уравнений, аналогичных данным:

а) 2х2 + 5x+2 = 0;

b) 3 х2 -10 х + 3 = 0;

с) 4 х2 + 17 х + 4 = 0;

d) 5x2-26x+5 = 0.

3. Решение по формулам квадратного уравнения:

a) x1=-2,x2=-

b) x1=-3,x2 =-

c) x1 = -4,x2=-

d) x1=-5,x2=-

Учащиеся должны подметить закономерность между найденными корнями и коэффициентами уравнений: каждое из уравнений имеет вид ах2±(а2+1)х+а=0 и его корнями являются числа (— а) и (— 1/а) или а и 1/а. Вывод учащиеся доказывают.

Заметим, что соотношения между видами самостоятельных работ должны меняться в соответствии с возрастом учащихся, при этом нужно учитывать их способности и склонности.

Один из недостатков в методике проведения самостоятельных работ -однообразие видов, используемых учителем. Наибольшее число самостоятельных работ приходится на закрепление изложенного материала учителем непосредственно после его изучения и проверку знаний. Значительно меньшее число их используется при изучении нового материала, при последующем закреплении.

В частности, на уроках обобщающего повторения учащимся зачастую предлагаются задания, которые требуют от них самостоятельных действий, аналогичные, тем, которые были до этого сформированы, но при выполнении которых они по-прежнему очень мало мыслят. В результате такой организации учебного процесса учитель полностью берёт на себя его творческую часть, а учащимся оставляет лишь исполнительные функции.

Опытная работа

Реализация межпредметных связей

Цель: Показать эффективность использования заданий межпредметного характера к темам «Производная» и «Интеграл», для развития интереса, логики мышления, а также, для углубления знаний по математики и физики.

Одно из условий повышения эффективности учебного процесса и совершенствования качества знаний учащихся является установление и реализация межпредметных связей в процессе преподавания учебных предметов, в частности математики и физики.

Система взаимосвязей школьных курсов математики и физики, естественно, имеет несколько односторонний характер: сравнительно легко выяснить, что физике необходимо из математике. Причина заключается в разной природе физики и математики как наук и их роли как учебных предметов в системе межпредметных связей. Физике абсолютно необходим математический аппарат как язык, без которого невозможно описание физических явлений, и как орудие, как один из методов физического исследования.

Посещение уроков математики и физики в 10-11 классах общеобразовательной школы выявило что в школе изучение математики и физики происходит параллельно, и часто, не только математика используется в физике и в определенной мере даже определяет ход физического образования, но и физика использует математический аппарата, оказывает обратное воздействие на математику. В связи с этим была предложена попытка это взаимодействие сделать правилом, используя его сознательно и целенаправленно.

В ходе анализа урока было обнаружено, что при обучении физике происходит закрепление математических знаний. Так, в 11 классе это выражается в систематическом применении производной при изучении колебаний, использовании и закреплении свойств тригонометрических и показательной функций.

Это не простое применение математики, а развитие и конкретизация ее идей и методов на широком естественно научном материале. Кроме того, при изучении физики происходит формирование и развитие ряда математических умений как в технике вычислений (таблицы и т.д.), так и в области графических и аналитических умений. [13]

С другой стороны, изучение физики нередко ставит определенные задачи перед математикой в сфере формирования ряда физических понятий: скорость, мощность и т.д., которые являются исходными для формирования таких общих математических понятий, как «вектор», «производная», «интеграл» и др.

Поэтому использование элементов математического анализа при изучении физики является наиболее ценным, что и послужило сделать упор именно на этот раздел математики. Новое содержание физико-математического образования, внедренное в настоящее время в школу, позволяет существенно углубить и расширить межпредметные связи математики и физики с целью усиления эффективности методики преподавания, повышения качества знаний учащихся, а также привития интереса учащимся к физико-математическим дисциплинам. Рассмотрим конкретно, как реализовать на практике межпредметные связи алгебры и начал анализа и физики в 10-11классах.

При анализе содержания программ указаны учебных предметов взят учебный план (см. таблицу 4) принятый для средней общеобразовательной школы.

Таблица 4

Проведенный нами анализ программ позволил представить в виде схемы (см. таблицу 5) взаимосвязь курсов алгебры с началами анализа и физики 10-11 классов по действующим программам в соответствии с существующим учебным планом. [14]

Таблица 5

Рассмотрим, как могут быть реализованы межпредметные связи математики и физики при формировании таких понятий как производная и интеграл.

Во время прохождения преддипломной практики нами была проведена опытная работа в 11 «Б» классе СШ №81.

Данная опытная работа проводилась на факультативных занятиях. На этих занятиях нами были предложены задания, которые дополняют задачный материал учебного пособия «Алгебра и начала анализа 10-11».

На факультативных занятиях нами рассматривались следующие темы: «Решение физических задач с помощью производной», «Решение физических задач с помощью интеграла». Эти темы представлены в приложении. После проведения факультативных занятий была предложена учащимся самостоятельная работа по данным темам, результаты которой показали всю важность и эффективность заданий межпредметного характера.

Нами было замечено, что успеваемость учащихся после посещения факультативных занятий увеличилась. Оценки ребят стали намного лучше, чем были прежде. Учащиеся повторили тему: «Производная», хорошо усвоили тему «Интеграл». На факультативных занятиях учащиеся увидели прикладной характер производной и интеграла в физических задачах.

Реализация внутрипредметных связей

Цель: Показать эффективность использования геометрического материала при решении некоторых уравнений, систем уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики темы "Решение уравнений" и "Решение систем уравнений" изучаются и обычно у школьников эти темы особого затруднения не вызывают. Но существуют задания связанные с алгебраическими системами, которые не решаются традиционными способами, или если решаются, то очень сложно, что вызывает у школьников затруднения.

Поэтому перед нами встал вопрос: возможно ли упросить выполнение таких заданий с помощью внутрипредметных связей. И нами был найден ответ на этот вопрос: мы можем решать некоторые задачи, используя геометрические приёмы. Нами было обнаружено, что с их помощью можно решать и сложные задачи и более простые, затратив на их решение меньше времени, чем при решении традиционными способами.

Приведём пример:

Имеет ли система уравнений решения при х > 0, у > 0 ?

х + у = 8,

х2+у2=81.

Для учеников не составит особого труда решить эту систему с помощью метода подстановки, но если применить здесь геометрический приём, то мы сразу же получим ответ на данный вопрос.

Второе уравнение системы представляет собой теорему Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами х, у и 9, т.к. х > 0, у > 0.

Из первого уравнения получаем, что для него не выполняется неравенство треугольника х + у = 8 < 9 (Рис.43). Получаем, что эта система не имеет решений при х>0, у>0.

Таким образом, в двух школьных курсах математики имеются большие возможности для реализации объективно существующих внутрипредметных связей, которые способствуют как усвоению учащимися теоретического материала, так и овладении навыками решения.

Во время преддипломной практики нами был проведёна опытная работа.

Объектом эксперимента был выбран 10 «А» класс средней школы № 81. Уровень успеваемости и уровень познавательной деятельности у учеников этого класса выше, чем у учащихся других 10 классов. Опытная работа проводился в виде факультативных занятий, который посещали 15 человек. При подготовке к занятиям нами был выделен следующий геометрический материал: «Теорема Пифагора», «Декартовы координаты и векторы в пространстве» и «Теорема косинусов».

При изучении вышеуказанных тем по геометрии внимание учащихся не заостряется на том, что они могут быть использованы в курсе алгебры. Между тем, использование их в курсе алгебры будет способствовать более глубокому пониманию изучаемого в обоих курсах материала и сэкономить время.

На факультативных занятиях нами предлагались задания, которые не предусмотрены программой для общеобразовательной школы. Они представляют собой задания повышенной трудности. Но, не смотря на это, выполнение этих заданий затруднений у школьников не вызвало, так как весь геометрический материал, который мы использовали, уже был изучен учащимися.

На факультативных занятиях нами рассматривались следующие темы: «Решение систем уравнений с помощью скалярного произведения», «Решение систем уравнений с помощью теоремы Пифагора и теоремы косинусов», «Решение уравнений, систем уравнений и неравенств графическим способом». Эти темы предложены в приложении.

После проведения факультативных занятий по данным темам была проведена самостоятельная работа, которая представлена в приложении. Результаты самостоятельной работы показали, что предложенные задания доступны для учащихся и развивают у них интерес и логику мышления.

Успеваемость этих 15 человек, посещающих факультативные занятия, повысилась в среднем на один балл и в курсе алгебры, и в курсе геометрии. В последствии на уроках они справлялись с аналогичными заданиями намного успешнее, чем их одноклассникам, не посещавших факультативных занятий.

Методические рекомендации:

По результатам опытной работы можно представить следующие методические рекомендации:

- Выявить темы школьного курса математики, где могут быть реализованы межпредметные и внутрипредметные связи как средство углубления знаний учащихся по связанным предметам.

- Составить тематический план по предметам естественно-математического цикла с учетом применения рассмотренного материала в связанных предметах.

- Применить рассмотренную методику в учебном процессе.

Заключение

Обучение в современной школе реализуется как целостный учебно-воспитательный процесс, имеющий общую структуру и функции, которые отражают взаимодействие, преподавания и учения. Функция обучения – это качественная характеристика учебно-воспитательного процесса, в которой выражена его целенаправленность и результативность в формировании личности ученика. Межпредметные и внутрипредметные связи способствуют реализации всех функций обучения: образовательной, развивающей и воспитывающей. Эти функции осуществляются во взаимосвязи и взаимно дополняют друг друга. Единство функций есть результат целенаправленного построения процесса обучения как учебно – воспитательной системы.

Проведенные нами исследования позволяют сделать некоторые выводы: межпредметные связи содействуют формированию у учащихся цельного представления о явлениях природы, помогают им использовать свои знания при изучении различных предметов, показывают комплексный подход к обучению. Реализация межпредметных связей в обучении математике предполагает сотрудничество учителя математики с учителями других предметов, посещения открытых уроков, совместного планирования уроков и т.д; реализация внутрипредметных связей в обучающей деятельности учителя заключается, прежде всего, в отборе материала, который представляет эти связи, в отборе организационных форм, методов и приемов обучения, направленных на более успешное усвоение этого материала.

Реализация внутрипредметных связей с позиции учебной деятельности ученика состоит в его самостоятельной работе по усвоению связей между изученными частями материала, по обобщению и систематизации знаний.

Список использованной литературы

1. Алдамуратова Т. «Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательной школы». – Алматы: Атамура, 2006. с 118-119

2. Антонов Н.С., Гусев В.А. «Современные проблемы методики преподавания математики». – М.: Просвещение, 1985. с 201-215

3. Глейзер Г.Т. «Повышение эффективности обучения математике в школе». – М.: Просвещение, 1989. с 321-329

4. Гельфанд М.Б., Берман В.П. Упражнения межпредметного характера к теме «Производная»». – М.: Просвещение, 1979. с 79-88

5. Гельфанд М.Б., Берман В.П. «Упражнения межпредметного характера к теме «Интеграл»». – М.: Просвещение, 1981. с 49-55

6. Генкин Г.З. «Геометрические решения алгебраических задач». //Математика в школе//№7, 2001. с 14-19

7. Далингер В.А. «Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике». – М.: Просвещение, 1991. с 83-109

8. Далингер В.А. «Геометрия помогает алгебре». //Математика в школе// №4, 1996. с 59-68

9. Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средней школы». – Алматы: Просвещение – Казахстан, 2004. с 85-105

10. Максимова В.Н. «Межпредметные связи в процессе обучения». – М.: Просвещение, 1989. с 17-52

11. Медяник А.И. «О роли внутрипредметных связей при обучении геометрии», //Математика в школе//№2, 1984. с 14-23

12. Математика: Сборник тестов: Учебно-методическое пособие. – Астана: НЦГСОТ, 2006. с 43-54

13. Пинский А.А., Тхамафокова С.Т. «Основное направление взаимосвязи курса «Алгебры и начала анализа» с курсом физики 10-11кл.» - М.: Просвещение, 1980. с 131-143

14. Шарыгин И.Ф., Букубаева К.О. «Геометрия 10-11 классы средней школы» – Алматы, Издательство «Кітап», 2004. с 163-181

15. Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 7 кл. общеобразовательной школы» - Алматы.: Атамұра, 2007. с 161-162

16. Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 7 кл. общеобразовательной школы. – Алматы: Атамұра, 2007. с 14-16

17. Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 8 кл. общеобразовательной школы. – Алматы: Атамұра, 2004.с 38-39

18. Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразовательной школы. – Атамұра, 2004. с 203-205

19. Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 9 кл. общеобразовательный школы. – Атамұра, 2006. с 163-171

20. Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 9 кл общеобразовательной школы. – Алматы: Атамұра, 2006. с 433-437

21. Шыныбеков А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл общеобразовательной школы. – Алматы: Атамұра, 2006. с 243-246

22. Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 10 кл общеобразовательной школы. – Алматы: Атамұра, 2007. с 47-51

23. Шыныбеков А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательной школы. – Алматы: Атамұра, 2007. с 379-385

Приложение

Реализация межпредметных связей

Тема 1. «Решение физических задач с помощью производной»

Решение задач с помощью производной не является для учащихся новым. Тему «Производная» они проходили еще учась в 10 классе, поэтому решение данных заданий у них не вызвало особого затруднения.

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону S=20t-25t2. В какой момент времени скорость точки будет равна 0? [4]

Решение: Найдем скорость движения точки в любой момент времени t:

u=s’(t)=50-25×2t

Положив u=0, найдем t:

50-50t=0, t=1(c)

таким образом, скорость точки равна нулю в конце первой секунды.

Ответ: t=1.

Привет 2. Материальная точка вращается вокруг оси по закону j=j(t), где t – время в секундах, j- величине угла поворота в радианах. На какой угол при этом поворачивается в среднем точка за секунду, т.е какова средняя угловая скорость точки в рад/с? Как определить мгновенную угловую скорость точки в момент t?

Решение:

Пример 3. Цепь висячего моста располагается по дуге параболы у=рх2.

Пролет моста имеет длину 50м, а стрела провеса f=5м. Определить величину угла провеса a в крайней точке моста. [4]

Решение: Задача сводится к нахождению углового коэффициента касательной к графику функции у=рх2 в точке х=25. Значение р определяется из условия, что парабола проходит через точку с координатами (25:5).

у=рх2

5=р×252

р=0,008.

Обозначим величину угла наклона касательной через a.

Тогда

у’=tga

y’=2×0.008×25

y’=0,4

tga=0,4

Ответ: tga=0,4

Пример 4. Точка движется по закону S=4t3+t2+8. найти величину скорости и ускорения в момент t=2с. [4]

Решение: При прямолинейном движении точки скорость u в данный момент t=t1 есть производная S’(t) от пути S по времени t1, вычисленная для данного момента t=t1 . Ускорение точки а в данный момент t=t1 есть производная u’(t) от скорости u по времени t, вычисленная для данного момента t=t1.

Найдем скорость движения точки в любой момент времени t.

u=S’(t)=12t2+2t

Вычислим скорость движения точки в момент t=2c.

u=12×22+2×2=52(м/с)

Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t

а=u’(t)=24t+2

Вычислим ускорение движения точки в момент времени t=2c.

а=24×2+2=50(м/с2)

Ответ: u=52м/с, а=50м/с2

Привет 5. При торможении маховик за t секунд поворачивается на угол j=5+6t-t2 радиан. Найти угловую скорость w вращения маховика в момент в ремени t=2c.

Решение: Угловой скоростью w называется изменения угла j за время Dt. Угловая скорость есть производная от угла поворота j по времени t:

w =j’(t) =6-2t

Найдем угловую скорость в момент t=2:

w=6-2×2=2 (рад/с)

Ответ: 2 рад/с.

Тема 2: «Решение физических задач с помощью интеграла»

Пример 1. Материальная точка движется вдоль координатной прямой со скоростью u(t)=2t(м/с). Укажите формулу, по которой можно найти координату этой точки х=х(t), если в начальный момент ее координата была равна –2(м). [5]

Решение: Так как u(t)=x’(t), то х(t) – первообразная для функции u(t)=2t, т.е х(t)=t2+C, где C – произвольная постоянная. В момент t=0, x(0)=-2м, отсюда получаем: -2=02+С, С=-2, и следовательно, х(t)=t2-2(м).

Пример 2. Материальная точка движется по окружности с угловой скоростью w=2рад/с. на какой угол j повернется она за промежуток времени от t1 до t2. [6]

Решение: Воспользуемся тем, что w(t)=j’(t)

тогда j(t) – первообразная для w(t).

Решение запишется следующим образом:

Ответ: 2t2-2t1

Аналогично решается следующее задание.

Пример 3. Материальная точка движется по окружности с угловой скоростью w=5tрад/с. На какой угол j повернется она за промежуток времени от t1 до t2.

Данное задание учащиеся прорешивают самостоятельно.

Пример 4. Скорость u изменения концентрации С вещества, вступившего в реакцию, выражается формулой u=u(t) (t измеряется в секундах, u - в моль/с×м3). Как изменится концентрация вещества, вступившего в реакцию, за время от t1 до t2c? [5]

Решение: Известно, что u(t)=c’(t), тогда с(t2)-c(t1)=моль/м3

Самостоятельная работа

Вариант 1. Вариант 2.

1. Точка движется прямолинейно по закону

S=30t-10t2 S=5t2-5t

В какой момент времени скорость точки будет равна 0?

2. Точка движется по закону

(S измеряется в метрах, t – в секундах). Найти величину скорости и ускорения в момент t = 0,3с.

3. Материальная точка движется по окружности с угловой скоростью

w(t)=2t+3 w(t) =

На какой угол j повернется она за промежуток времени от 1 до 2,2с.

Реализация внутрипредметных связей

Тема 1: Решение уравнений, систем уравнений и неравенств с модулями геометрическим способом

Прежде чем приступить к изучению этой темы мы повторили, как строить графики следующих функций:

1 у = х, у = ½х½

2 у = х +1, у = ½х +1½

3 у = х2 + 5х +1, у = ½х2 + 5х +1½

Решение уравнений и систем уравнений графическим способом для учащихся не ново. Ученики знают, что уравнения и системы уравнений можно решать как графическим так и аналитическим способом и обычно у учащихся решение таких заданий особых затруднений не вызывают. Но если предложить учащимся уравнение или систему уравнений с модулями, то они могут вызвать у учащихся затруднения. Это связано с тем, что обычно в школьной программе особого внимания решению уравнений и систем уравнений с модулями не уделяется.

Если решать, например, систему уравнений непосредственно, то на это будет затрачено очень много времени, кроме того, в вычислениях можно допустить ошибки. Поэтому на факультативных занятиях нами были предложены решения уравнений и систем уравнений с помощью графиков.

Затем были предложены следующие задания.

1. Решить уравнение графическим способом:

|х2-1| = х + 5 [8]

Построение проводим по следующей схеме:

а) у = х2

b) у = х2-1

c) у = |х2-1|

d) у = х + 5

e) находим точки пересечения графиков (рис.44).

Ответ: х1 = -2, х2 = 3.

2. ½х2 — 1 ½= ½х - 3½

3. ½х2 +х-1 ½=6

4. Решить систему уравнений графическим способом

х2+у2=25

у=½х-1½ [8]

Построение проводим по следующей схеме:

а) х2 + у2 = 25

b) у=х-1

с) у=|х-1|

d) находим точки пересечения графиков

х2 +у2 = 25 и у = |х-1|. (Рис.45).

Ответ: (-3;4), (4;3).

5. у=|х2 + 6х + 5|,

у-х=5

6. |у|=х-3

у=х2-8х+15

Тема 2: Решение систем уравнений с помощью теоремы Пифагора и теоремы косинусов

Прежде чем приступить к изучению данной темы учащимся было предложено вспомнить теорему Пифагора, обратную теорему Пифагора и теорему косинусов.

Затем им было предложено следующее задание:

Имеет ли система

x2+y2=25,

х + у = 2

решения при х>0 и у>0?

Решив её, ученики обнаружили, что система не имеет решений при x >0 и у >0. Затем ученикам был задан вопрос: смогли ли бы они сказать это не решая систему? И получили отрицательный ответ.

На первый взгляд, кажется, что устно не возможно решить это задание. Но, оказывается, что если применить здесь геометрические знания, то ответ на этот вопрос можно получить сразу.

Первое уравнение представляет собой теорему Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами х, у и 5, так как х>0, у>0. А так как х + у = 2, то для этого треугольника не выполняется неравенство треугольника. Поэтому система не имеет решений.

Так же могут быть предложены Удобные задания:

Имеют ли следующие системы уравнений решения при х > 0, у > 0:

х2+у2 -25=0, х2+у2=1,

х = 3-у х + у = 1 и т.д.

Затем ученикам было объяснено, что существуют системы уравнений, состоящие из трёх уравнений с тремя переменными и решаются они точно так же как и с двумя переменными.

Можно предложить им решить несколько систем:

х + у - z = 2, , х + z = 5,

х + z = 0, ; х + у + z = 9, и т.д.

у-х+z=3 х-у-z=2

Можно задание усложнить, например, для первой системы уравнений найти значение выражения: ху + уz или х + у + z. Это будет сделать не трудно, так как значения х, у и z уже найдены.

Рассмотрим следующие задания:

Для положительных х, у и z из условий х2+ху + =169, =25 и

х + xz + = 144 вычислите значение выражения ху + уz + zх.

Для того, чтобы найти значение выражения необходимо найти значение х, у и z. Составим систему:

х2+ху + = 169,

=25 [7]

х +xz+ = 144

Эту систему решить очень сложно, тем более, что ученики ещё плохо умеют решать системы с тремя переменными. Возникает вопрос, можно ли, как и в предыдущих задачах применить геометрические знания?

II уравнение: - по обратной теореме Пифагора, числа и 5 являются катетами и гипотенузой для прямоугольного треугольника.

Если вспомнить теорему косинусов и следствие а2 = b2 + с2 ±2bссоsa где a - угол между сторонами b и с, то I уравнение представляет собой теорему косинусов для треугольника со сторонами х, =, 13 и углом 135° между сторонами х и . Аналогично из третьего уравнения получаем треугольник со сторонами х, , 12 и углом 135°.

Сопоставив эти треугольники получим треугольник АВС со сторонами 13, 12 и 5. (Рис.46)

Поскольку 132 =122 +52, то треугольник АВС прямоугольный.

SDABC = SDAOB+ SDAOC + SDBOC

Ответ: ху + хz + уz = 120

Аналогично решается следующее задание:

Для положительных x, у и z из системы уравнений

найти значение выражения

ху + 2уz + 3хz. (Рис.47)

Затем учащимся было предложено самостоятельно решить такую задачу:

Имеет ли система уравнений

решения для x>0, у>0 и z>0?

х2 + ху + у2 = 4,

x2 +хz + z2 =9,

у2 +хz + z2 =36

Тема 3: Решение систем уравнений с помощью скалярного произведения

Прежде чем приступить к изучению данной темы, мы повторили следующие вопросы:

1. Что такое скалярное произведение и как оно находится?

2. Как найти длину вектора?

Затем мы приступили к рассмотрению таких заданий:

1. [7]

Решение:

Рассмотрим векторы = (х2;y2;z2) и = (1;1;2).

Вычислим

Исходную систему теперь можно переписать в виде

Так как £, а это не выполняется так как => система не имеет решений.

2.

Решается аналогично.

3. Решить систему уравнений:

х2 + у2=-.у(х + z),

х2 + x + у= -2yz,

Зх2 +8y2 + 8ху + 8yz = 2х + 4z + 2

Решение:

Перепишем систему в виде

х(х + у) + у(у +z) = 0,

х(х + 1) + у(2z + 1) = 0,

4(х + у)2 +4(у + z)2 = (х +1)2 + (2z +1)2

Введём векторы: = (x;у), =(х + у;у + z), = (х + 1;2z +1)

Тогда =0, = 0, 4 = .

Если = 0, то х = у = 0, z = -.

Если же , то векторы и коллинеарны и, следовательно, =±2.

а) = 2

Тогда можем записать:

любое.

Значения z находим из первого и второго уравнения системы, подставив в неё значения х = 0, у = 0,5 получаем z = -0,5.

b) = -2

Составленные в соответствии с этим условием уравнения не дают решения исходной системы.

Ответ: (0;0; - 0,5), (0;0,5;- 0,5).

Аналогично решается следующая система:

х2 +у2 +ху + уz = 0,

х2 + х + у + 2уz = 0,

3х2 + 8у2 + 8ху + 8уz - 2х – 4z = 2

Самостоятельная работа

Вариант I Вариант II

1. Имеет ли следующая система уравнений решения при х> 0, у > 0 ?

х + у = 7, х = 3-у,

х2 +у2 -49 = 0 х2+у2=16

2. Решить систему уравнений графическим способом:

х + у2=9, у = ½х2 +5х + 1½,

у=|х2-2| х = у-2

3. Решить систему уравнений, используя скалярное произведение векторов:

Размещено на Allbest.ru