Изучение вращательного движения на приборе Обербека. Упругие и неупругие удары шаров

Цель работы

1. проверка основного закона динамики вращательного движения и определение момента инерции динамическим методом.

2. изучение законов сохранения импульса и механической энергии на примере ударного взаимодействия двух шаров; определение средней силы удара, коэффициента восстановления скорости и энергии деформации шаров.

Приборы и принадлежности: миллисекундомер, кронциркуль, измерительная линейка, установка для изучения упругого и неупругого ударов шаров ФПМ-08.

Элементы теории

Основной закон динамики вращательного движения аналогично 2-му закону Ньютона связывает силовую характеристику и инерционные свойства тела с кинематическими характеристиками и утверждает, что угловое ускорение w тела при вращательном движении прямо пропорционально результирующему моменту M всех сил, действующих на данное тело, и обратно пропорционально моменту инерции I данного тела:

1) .

Проверка данного закона осуществляется с помощью прибора Обербека. В данном приборе маховик приводится во вращение силой натяжения нити, которая момент относительно оси вращения:

2) ,

где d – диаметр шкива прочно соединённого с маховиком.

По 3-ему закону Ньютона на, подвешенный на нити, груз m0 будет действовать равная по величине сила. Движение данного груза будет определяться результирующей сил тяжести и натяжения нити. Тогда 2-ой закон Ньютона для данной системы тел можно записать так:

3) m0a = m0g – T.

Выражая из (3) силу натяжения нити имеем выражение:

4) T = m0(g - a).

Подставляя данное выражение в (2) получаем:

5) .

Из (5) видно, что для нахождения момента инерции M необходимо знать ускорение поступательного движения a груза m0, которое можно найти, выразив из

:

6) ,

где h – высота падения груза; t – время падения груза.

Учитывая (6), выражение (5) можно переписать следующим образом:

7) .

Ускорение движения груза a пропорционально угловому ускорению маховика e:

8) .

Выразив из (8) угловое ускорение e и учитывая выражение (6) получим:

9) .

Таким образом, зная значения t, h, d и m0, можно найти отношение момента силы натяжения нити M к угловому ускорению e:

10) .

Моховик Обербека позволяет, во-первых, убедиться, что для данного распределения масс (постоянного момента инерции) с изменением момента силы трения меняется угловое ускорение, но их отношение остаётся постоянным:

11) ,

и, во-вторых, определяя величину момента инерции маховика с грузами:

12) I = I0 + 4mR2

по известным значениям момента инерции маховика без грузов I0, массы дополнительных грузов m и их расстояний от оси вращения, проверить справедливость закона:

13)

для расчётных расположений дополнительных грузов, т.е. проверить линейную зависимость между, независимо определённым, моментом инерции системы I и отношением M/e.

Удар (соударение) – это столкновение двух или нескольких тел, при котором взаимодействие длиться очень короткое время. При этом часть энергии данных тел полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации или во внутреннюю энергию тел.

В качестве меры механического взаимодействия тел при ударе вместо ударной силы служит её импульс за время удара.

1) ,

где <> - средняя сила удара; t – время ударного взаимодействия.

Если импульс изменяется на конечную величину D(m) за время t, то из второго закона динамики следует, что

2) .

Тогда <F> можно выразить так

где m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; DV1 и DV2 изменение скоростей данных тел при ударе.

Абсолютно упругий удар – это удар при котором механическая энергия тел не переходит в другие механические виды энергии, и кинетическая энергия переходит полностью в потенциальную энергию упругой деформации (затем обратно).

Абсолютно неупругий удар – это удар при котором потенциальной энергии не возникает, кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию. Суммарный импульс данной системы сохраняется, а большая часть кинетической энергии переходит в тепло.

Линяя удара – это линия перпендикулярная поверхностям соударения обоих тел и проходящая через точку касания данных тел при ударе.

Прямой удар – есть удар, при котором вектора скоростей движения центров масс данных тел параллельны линии удара (перед непосредственным взаимодействием).

Центральный удар – это прямой удар, при котором центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара.

Косой удар – это удар не являющийся прямым.

В данном случае будем считать, что система шаров на экспериментальной установке является изолированной. Тогда на основании законов сохранения импульса и энергии будет справедлива следующая формула

3)

4) ,

где m1 и m2 – массы шаров; , и , - их

скорости до и после взаимодействия.

Из (4) и (5) выражаем скорости шаров после столкновения и .

5) 7)

В данном случае рассматривался – абсолютно упругий удар. Но в действительности кинетическая энергия тел после соударения становиться меньше их первоначальной энергии на величину, которую можно найти так:

8) ,

где Kс – коэффициент восстановления скорости. Эта часть кинетической энергии тел при ударе преобразуется в их внутреннюю энергию.

Коэффициент восстановления скорости можно найти по следующей формуле:

9) .

Если при соударении потеря кинетической энергии отсутствует (Kс = 1), то удар называется абсолютно упругим, а при Kс = 0 абсолютно неупругим. Если же 0 < Kс < 1, то удар является не вполне упругим.

Применительно к соударяющимся шарам, один из которых покоится, формулу (4) можно записать так:

10) ,

а для абсолютно неупругого удара .

Скорости шаров до и после удара можно определить по формулам:

11) ; 12) ; 13)

где l – расстояние от точки подвеса до центра тяжести шаров (l = 470 ± 10 мм.), a0 – угол бросания правого шара, a1 и a2 – углы отскока соответствующих шаров.

Расчет вращательного движения на приборе Обербека

После снятия показаний с установки имеем значения следующих величин:

mпл = 58,8×10-3 кг. (масса платформы);

m1 = 55,7×10-3 кг. m2 = 56,5×10-3 кг. m3 = 55,8×10-3 кг. (массы 3-х дополнительных грузов закреплённых на платформе);

4m = 745×10-3 кг. (масса 4-х одинаковых грузов закреплённых на крестовине установки);

I0 = 2,37×10-2 кг×м2. (момент инерции ненагруженной крестовины);

l = 27×10-2 м. (длина стержней крестовины);

h = 0,4 м. (путь пройденный грузом);

При дальнейших расчётах следует учесть, что масса груза (m0) складывается из массы платформы (mпл) и массы всех дополнительных грузов установленных на платформе:

m0 = mпл + m1 + m2 + m3; m0 = 226,8×10-3 кг.

Рассматривая все случаи снятия измерений, по формуле (10) подсчитаем отношение M/e (момент инерции маховика) для каждого из них.

Измерения при R1 и d1: Измерения при R1 и d2:

кг×м2.

кг×м2.

Измерения при R2 и d1: Измерения при R2 и d2:

кг×м2.

кг×м2.

Измерения при R3 и d1: Измерения при R3 и d2:

кг×м2.

кг×м2.

По формуле (12) определим величину момента инерции маховика Обербека.

Теперь определим величину момента инерции данного маховика по формуле (12). По данной формуле искомая величина вычисляется только через I0, 4m и R, а следовательно не зависит от di (диаметра шкива, жестко связанного с маховиком). Определяя величину момента инерции данной системы тел рассматриваем только 3 случая измерений, каждый случай для своего Ri

Измерения при R1:

I = 2,37×10-2 + 745×10-3×0,12 = 0,031 кг×м2.

Измерения при R2:

I = 2,37×10-2 + 745×10-3×0,152 = 0,04 кг×м2.

Измерения при R3 и d1:

I = 2,37×10-2 + 745×10-3×0,22 = 0,054 кг×м2.

Далее найдём погрешность вычисления величины момента инерции маховика Обербека, как M/e. Найдём погрешности величины отношения M/e для каждого значения Ri. Погрешность данной косвенной величины вычислим по формуле расчёта погрешности косвенной величины через дифференциал.

; при , .

Для применения данной формулы необходимо найти среднеквадратичные погрешности величин найденных прямыми измерениями (t и h), st и sh соответственно.

Воспользуемся следующими формулами нахождения среднеквадратичной погрешности:

Для измерения проведённого c R1 и d1, вычислим величину st11, при k = 1,1 (P = 0,95), c = 10-3, n = 5. И st12 для измерений с R1 и d2.

c.

c.

Значение st1 (для R1) найдём, как среднее арифметическое от st11 и st12:

; с.

Аналогично вычисляются значения st21, st22 (для R2 с d1 и d2):

c.

c.

Значение st2 (для R2) найдём, как среднее арифметическое от st21 и st22:

; с.

Найдём st31, st32 (для R3 с d1 и d2):

c.

c.

Значение st3 (для R3) найдём, как среднее арифметическое от st31 и st32:

; с.

Подсчитаем значение величины

sh: ,

т.к. величина h измерена однократно, то имеет смысл случайную составляющую среднеквадратичной погрешности sсл приравнять к нулю.

; ,

при c = 10-3 м; k = 1,1. c.

Возвращаясь к формуле вычисления и учитывая, что (при tс = 2,78) найдём соответствующие значения для каждого значения Ri. В данном случае d = (d1 + d2)/2 и t = (ti1 + ti2)/2.

Для

R1: кг×м2.

Для R2: кг×м2.

Для R3: кг×м2.

Расчет упругого и неупругого ударов шаров

После работы с установкой имеем значение следующих величин: (угол бросания правого шара) a0 = 15°; (массы правого и левого шаров соответственно) m1 = 112,2 ´ 10-3 кг, m2 = 112,1 ´ 10-3 кг; (длина бифилярных подвесов обоих шаров) l = 470 ´ 10-3 м; (погрешность значения длин бифилярных подвесов) Dl = 0,01 м; (цена деления микросекундометра) ct = 10-6; (цена деления градусных шкал) ca = 0,25°.

При известном среднем арифметическом значении времени найдём погрешность измерения данной величины:

с.

с.

При известных значениях и найдём погрешность их измерения (в радианах, при p = 3,14):

рад.

рад.

рад.

рад.

при Dсл »

0;рад.

при sсл » 0; sa0 = sс; ;

рад.

Теперь найдём скорости данных шаров до соударения (V1, V2) и их скорости после взаимодействия (U1, U2). При этом (скорость левого шара) V2 = 0 т. к. он покоиться до удара. Значения остальных скоростей находят из следующих формул (через l, a и g):

м/с2; м/с2;

м/с2;

Найдём погрешности вычисления данных скоростей.

м/с.

м/с.

м/с.

По формуле (3) найдём (силу кратковременного взаимодействия шаров) < F >. Учитывая, что DV1 = |U1 - V1| и DV2 = |U2 – V2|.

Н.

Н.

Значение силы удара шаров найдём, как действительное значение от < F1 > и < F2 >:

Н.

Найдём погрешность величины < F > по формуле

(погрешность вычисления массы пренебрежимо мала).

Н.

Н.

Н.

Далее по формуле (9) найдём коэффициент восстановления скорости Kс:

; при V2 = 0,

Пользуясь формулой для вычисления погрешности косвенных величин

,

найдём DKс. Для получения более точного значения погрешности, используя формулы (11, 12, 13), сведём исходную формулу для вычисления Kс (9) к формуле с аргументом состоящим только из значений прямых измерений (t,a1,a2).

= 4,6 ´ 10-2

Теперь по формуле (8) вычислим значение энергии деформации шаров DEk:

Дж.

Осталось найти погрешность D(DEK). При использовании следующей формулы предполагается, что V1 и Kс являются прямыми измерениями.

DEK = 0,17 Дж.