Название реферата: Методы оценки параметров распределения
Раздел: Экономико-математическое моделирование
Скачано с сайта: www.refsru.com
Дата размещения: 14.09.2012
Методы оценки параметров распределения
5 |
2 |
3 |
1 |
6 |
4 |
8 |
9 |
5 |
7 |
4 |
7 |
8 |
2 |
9 |
10 |
4 |
5 |
3 |
2 |
9 |
7 |
8 |
6 |
5 |
4 |
3 |
5 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5 |
6 |
7 |
5 |
3 |
10 |
1. Вычислить критерий хи-квадрат и сделать вывод о нормальности данного распределения.
2. Построить график эмпирического распределения.
Критерий Пирсона
1. Наблюдаемый критерий Пирсона вычисляется по следующей формуле:
критерий пирсон колмогоров распределение частота
,
где - наблюдаемая частота;
- теоретическая частота.
Массив данных о значениях случайной величины X, как элементов выборки представим в таблице 1.1 в ячейках В2:К5.
Таблица
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K | |
1 | |||||||||||
2 |
5 |
2 |
3 |
1 |
6 |
4 |
8 |
9 |
5 |
7 | |
3 |
4 |
7 |
8 |
2 |
9 |
10 |
4 |
5 |
3 |
2 | |
4 |
9 |
7 |
8 |
6 |
5 |
4 |
3 |
5 |
2 |
1 | |
5 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5 |
6 |
7 |
5 |
3 |
10 | |
6 | |||||||||||
7 |
n= |
40 |
k= |
6,31884 | |||||||
8 |
|
10 |
h= |
1,42431 | |||||||
9 |
1 |
2. Разобьем исходные данные по интервалам. Количество интервалов вычислим по формуле , где n – объем выборки.
Объем выборки определим с помощью функции СЧЕТ . Для этого установим курсор в ячейку В7, щелкнем мышкой над кнопкой , которая находится на панели инструментов. Появится окно «Мастер функций – шаг 1 из 2», в котором в категории «Статистические» выбираем функцию СЧЕТ. Затем мышкой выполним команду ОК. В появившемся окне «Аргументы функции» поставим курсор в строку ввода «Значение 1» и мышкой выделим массив В2:К5, щелкнем мышкой ОК. В ячейке В7 появится значение объема данных, число 40.
Введем в ячейку Е7 формулу: =1+3,32*Log(В7),в ячейке Е7 появится число 6,31884.
Далее вычислим шаг интервалов, используя формулу , где
- максимальное значение варианты из массива данных;
– минимальное значение варианты; k – количество интервалов.
Выделим пустую ячейку В8 и вызовем окно «Мастер функций – шаг 1 из 2», в котором инициируем функцию «МАКС», введем в строку ввода блок ячеек В2:К5. В ячейке В8 появится максимальное значение данных, число 10.Выделим пустую ячейку В9 и вызовем окно «Мастер функций – шаг 1 из 2», в котором инициируем функцию «МИН», введем в строку ввода блок ячеек В2:К5. В ячейке В9 появится максимальное значение данных, число 1.
Теперь введем в ячейку Е8 формулу: =(В8-В9)/Е7. Получим значение шага h=1,42431. Округлим его, получаем h=1,5.
Таким образом, имеем шаг h=1,5, количество интервалов округлим до 7, k=7. Вычислим теоретические частоты по интервалам . Для этого построим новую расчетную таблицу 1.2. Значения частот определяем с использованием функции ЧАСТОТА( ).
Введем в ячейку В11 заголовок для левого конца интервала , в ячейку С11 – заголовок правого конца интервала
. Далее вводим значения в столбцы В12:В18 и С12:С18.
Таблица
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I | |
10 | |||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
| |
12 |
1 |
2,5 |
3 |
1,75 |
5,25 |
59,7417 |
|
-1,4232 | |
13 |
2,5 |
4 |
5 |
3,25 |
16,25 |
43,882 |
-1,4232 |
-0,8482 | |
14 |
4 |
5,5 |
10 |
4,75 |
47,5 |
21,3891 |
-0,8482 |
-0,2731 | |
15 |
5,5 |
7 |
7 |
6,25 |
43,75 |
0,00984 |
-0,2731 |
0,30188 | |
16 |
7 |
8,5 |
7 |
7,75 |
54,25 |
16,5473 |
0,30188 |
0,8769 | |
17 |
8,5 |
10 |
3 |
9,25 |
27,75 |
27,6792 |
0,8769 |
1,45192 | |
18 |
10 |
11,5 |
5 |
10,75 |
53,75 |
102,945 |
1,45192 |
| |
19 |
сумма |
40 |
248,5 |
272,194 | |||||
20 |
|
6,2125 |
6,80484 | ||||||
21 |
|
2,60861 |
3. 1) Выделим мышкой пустой столбец D12:D18. Щелкнем мышкой над кнопкой функцию ЧАСТОТА. Появится окно «Аргументы и функции». Вводим в строку массив данных блок В2:К5. Затем переводим курсор в строку массив интервалов. Т.е. выделяем столбец В12:В18 инажимаем последовательно на клавиатуре три кнопки Ctrl+Shift+Enter.
2) Столбец Е12:Е18 заполним средними значениями каждого интервала. В столбцеF12:F18 вычислим средние значения для всего массива данных . Для этого в ячейкуF12 вводим формулу =D12*E12 и протягиваем мышкой значение этой ячейки до конца таблицы. В ячейке F19 вычисляем сумму, а в ячейке F20 –среднее значение по формуле =F19/D19. =6,2125
3) Вычисляем среднее квадратическое отклонение по формуле
.
Вводим с клавиатуры в ячейку G12 формулу =(E12-59,875)^2*D12 и протягиваем ячейку до ячейки G18. Далее вычисляем в G19 сумму, в ячейке G20 – среднее значение, разделив сумму на 40 и в ячейке G21 извлекаем корень квадратный по формуле =корень(G20). 2,60861.
4. Вычислим безразмерные аргументы для левых концов интервала и
для правых концов интервала по формуле
.
В ячейку H12 вводим формулу =(В12-6,2125)/ 2,60861 и протягиваем ее до конца столбца, т.е. заполняем нижние значения соответствующими вычислениями. Аналогично вычисляем величины формулой: =(C12-6,2125)/ 2,60861.
Далее вычисляем значения функций Лапласа F(и F(
потаблице и результаты помещаем в новую расчетную таблицу 1.3 в ячейки В24:В30 и С24:С30.
Таблица 1.3
A |
B |
C |
D |
E |
F | |
22 | ||||||
23 |
F( |
F( |
|
|
| |
24 |
-0,5 |
-0,4222 |
1,75 |
3,112 |
0,00403 | |
25 |
-0,4222 |
-0,2968 |
3,25 |
5,016 |
5,1E-05 | |
26 |
-0,2968 |
-0,1064 |
4,75 |
7,616 |
0,74625 | |
27 |
-0,1064 |
0,1179 |
6,25 |
8,972 |
0,43344 | |
28 |
0,1179 |
0,315 |
7,75 |
7,884 |
0,09912 | |
29 |
0,315 |
0,4265 |
9,25 |
4,46 |
0,47794 | |
30 |
0,4265 |
0,5 |
10,75 |
2,94 |
1,4434 | |
31 |
сумма |
40 |
3,20423 |
Вычисляем теоретические частоты по формуле F(
F(
. Вводим в ячейку E24 формулу =(С24-В24)*60 и протягиваем формулу до конца столбца.
Вычисляем критерий Пирсона Хи-квадрат. В ячейку F24 вводим формулу: =(D12-E24)^2/E24.
В итоге, как видно из таблицы 1.3 получено3,20423.
Сравним найденное значение с табличным по уровню значимости α=0,05 и степени свободы s=k-2=7-2=5. =11,1
Т.о., наблюдаемый критерий меньше табличного, следовательно, исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
Критерий согласия Колмогорова - Смирнова
Вычислим критерий D по формуле , где
– экспериментальные и теоретические накопленные частоты соответственно. Накопленные частоты получаются путем последовательного сложения частот по всем интервалам, начиная с первого. Для удобства вычислений составим расчетную таблицу 2.1.
Таблица 2.1
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I | |
32 | |||||||||
33 |
|
3 |
5 |
10 |
7 |
7 |
3 |
5 | |
34 |
|
3 |
8 |
18 |
25 |
32 |
35 |
40 | |
35 |
|
3,112 |
5,016 |
7,616 |
8,972 |
7,884 |
4,46 |
2,94 | |
36 |
|
3,112 |
8,128 |
15,744 |
24,716 |
32,6 |
37,06 |
40 | |
37 |
|
0,112 |
0,128 |
2,256 |
0,284 |
0,6 |
2,06 | ||
38 |
Dmax = |
2,256 |
Максимальное значение абсолютной разности накопленных частот равно 2,256. По формуле делим его на n=40 и получим D=0,0564. Найдем табличное значение критерия с уровнем значимости α=0,05 и степенью свободы n=40. .
Следовательно, исходные данные соответствуют нормальному распределению, т.к. .
Т.о., второй метод подтверждает наличие нормального распределения выборки.
Построение графика распределения частот
Для построения графика распределения частот используем данные таблицы 1.3. В качестве абсциссы берем координаты массив D24:D30. В качестве ординат – блок E24:E30.
1. Выполним команду ВСТАВКА из верхнего меню. Выберем пиктограмму Точечная и в появившемся окне вид плавной кривой с точками.
2. В верхней ленте выбрать команду Выбрать данные. Появится окно Выбор исходных данных. После чего выделяем столбец D24:D30 нажимаем клавишу Ctrl на клавиатуре и, опуская ее, выделяем столбец E24:E30. Щелкнем по команде ОК. Появится изображение графика.
Размещено на Allbest.ru