Канонический вид произвольных линейных преобразований

Заметим, что подпространство состоит из всех собственных векторов преобразования А, отвечающих собственному значению l0, к которым добавлен еще нулевой вектор.

Определение 2. Вектор х называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования А, отвечающим собственному значению l0, если вектор

у = (А - l<

b>0Е)х

является собственным вектором преобразования А.

Пусть l0 – собственное значение преобразования А.

Подпространство, состоящее из всех векторов х, для которых выполнено условие

(А - l0Е)2х = 0, (2)

т. е. ядро преобразования (А - l0Е)2 , обозначим . является инвариантным подпространством пространства R. А получается это подпространство, если к подпространству добавить присоединенные векторы 1-го порядка.

Аналогично вводим подпространство , состоящее из всех векторов х, для которых

(А - l0Е)kх = 0. (3)

Это подпространство инвариантно относительно преобразования А. Ясно, что подпространство содержит предыдущее подпространство .Определение 3. Вектор х называется присоединенным вектором k-го порядка, если вектор

у = (А - l0Е)х

есть присоединенный вектор порядка k-1.

Пример. Пусть R – пространство многочленов степени £ n-1 и преобразование А – дифференцирование:

АР(t) = P(t).

Легко видеть, что l = 0 есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор P(t) = const. Найдем для этого преобразования подпространства . По определению состоит из всех многочленов P(t), для которых АkР(t) = 0, т. е.

Это будут все многочлены, степень которых не превышает k-1. Присоединенными векторами k-го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна k-1.

2.2 Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение

Пусть l1 – некоторое собственное значение преобразования А. Пространство R можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование А имеет лишь одно собственное значение l1, а во втором у преобразования А уже нет собственного значения l1.

Не ограничивая общности, можно считать, что l1 = 0.

Действительно, пусть l1 ¹ 0. Рассмотрим преобразование В = А - l1Е; оно уже имеет собственное значение, равное нулю. Очевидно также, что инвариантные подпространства преобразований А и В совпадают.

Итак, будем считать, что преобразование А имеет собственное значение l = 0. Докажем это утверждение сначала для частного случая, когда в пространстве нет присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению, а есть только собственные векторы.

Нам нужно построить два инвариантных подпространства, прямая сумма которых равна R. В качестве первого из них, в котором l = 0 есть единственное собственное значение, можно взять совокупность N0 всех собственных векторов, отвечающих собственному значению l = 0 или, другими словами, ядро преобразования А.

В качестве второго подпространства возьмем образ М пространства R при преобразовании А, т. е. совокупность векторов у = Ах, где х пробегает все пространство R. Легко видеть, что каждое из этих подпространств инвариантно.

Они дают разложение пространства в прямую сумму. Так как сумма размерностей ядра и образа для любого преобразования А равна n, то достаточно доказать, что пересечение этих подпространств равно нулю.

Предположим, что это не так, т. е. пусть существует вектор у ¹ 0 такой, что уÎМ и уÎN0. Так как уÎМ, то он имеет вид

у = Ах, (4)

где х – некоторый вектор из R. Так как уÎN0, то

Ау = 0, где у ¹ 0. (5)

Равенство (5) означает, что у есть собственный вектор преобразования А, отвечающий собственному значению l = 0, а равенство (4) при этом означает, что х есть присоединенный вектор первого порядка, отвечающий тому же собственному значению. Мы же предположили, что у преобразования А нет присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l = 0.

Таким образом доказано, что подпространства М и N0 не имеют общих векторов кроме нулевого.

Вспоминая, что сумма размерностей образа и ядра равна n, мы получаем отсюда, что пространство R разложимо в прямую сумму инвариантных подпространств М и N0:

R = M + N0.

Замечание. Из приведенного выше доказательства видно, что образ и ядро имеют пересечение, отличное от нуля в том и только случае, когда преобразование А имеет присоединенные векторы, отвечающие собственному значению l = 0.

Разобранный частный случай дает нам идею того, как проводить доказательство в общем случае, когда А имеет также и присоединенные векторы, отвечающие собственному значению l = 0. Подпространство N0 при этом оказывается слишком узким, и его естественно расширить за счет добавления всех присоединенных векторов, отвечающие собственному значению l = 0. Второе же подпространство М оказывается при этом слишком большим.

Теорема. Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств и . При этом подпространство состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l = 0, а в подпространстве преобразование А обратимо ( т. е. l = 0 не является собственным значением преобразования А в подпространстве ).

Если l1 – некоторое собственное значение преобразования А, то пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств R1 и , в первом из которых преобразование А имеет только собственное значение l1, а во втором все собственные значения А отличны от l1.

Применяя полученный результат к преобразованию А в пространстве и к некоторому собственному значению l2 этого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвечающее собственному значению l2. Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования А, мы получим доказательство следующей теоремы:

 Скачать реферат