Эффективность менеджмента
Решение, удовлетворяющее условиям задачи и соответствующее намеченной цели, называется оптимальным планом.
Линейное программирование (планирование) служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных однородных ресурсов в целях решения поставленной задачи.
В общем виде постановка задачи линейного программирования заключается в следующем.
Условия задачи представляются с пом
ощью системы линейных уравнений или неравенств, выражающих ограничения, налагаемые на использование имеющихся ресурсов.
где Xj – искомые величины, содержащие решение поставленной задачи;
aij и bi – известные постоянные величины, характеризующие условия задачи.
Условия задачи (ограничения) могут быть заданы также в виде неравенств. В этих случаях можно привести систему линейных ограничений к виду (16.10), вводя в каждое линейное ограничение дополнительные неотрицательные неизвестные:
Целевая установка оптимизации заключается в том, чтобы свести ожидаемые при решении данной задачи издержки предприятий к минимуму.
Требуется обратить в минимум величину
где сj – показатель, характеризующий издержки предприятий.
Пусть т – общее число различных видов ресурсов, которыми располагает собственник, а п – число типов предприятий, между которыми эти ресурсы должны быть распределены. При этом известно, какое количество однородных ресурсов различного вида (i = 1, 2, . т) может быть реализовано на каждом из предприятий данного типа (j = 1, 2, . п), а также общее количество ресурсов данного вида (bi). Известно также относительное значение издержек на каждом из предприятий (cj).
Задача заключается в том, чтобы наилучшим (оптимальным) образом распределить имеющиеся ресурсы по предприятиям, т. е. найти неизвестные величины xj, требуемые для этого количества предприятий данного типа.
ПРИМЕР. Собственник располагает четырьмя видами ресурсов (m = 4). Это, например, денежные средства, производственные помещения, оборудование, сырье. Ресурсы необходимо распределить между шестью предприятиями (п = 6). Предприятия различаются по экономическим условиям деятельности: месту расположения, системе налогообложения, стоимости энергии, оплате труда и т. д., в связи с чем имеют разные издержки производства. Относительные уровни издержек заданы табл. 2.
Таблица 2
Относительные уровни издержек на предприятиях
Предприятия |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Издержки |
0,4 |
0,5 |
0,2 |
0,8 |
0,6 |
0,3 |
Распределение ресурсов по предприятиям сопряжено с необходимостью учета ряда ограничений, которые могут быть описаны системой четырех уравнений с шестью неизвестными, аналогичной системе:
Смысл первого уравнения в нашем примере в том, что ресурс вида 1, общий ресурс которого составляет 16 единиц, может размещаться в количестве четырех единиц на предприятии первого типа и одной единицы – на предприятии четвертого типа. Аналогично раскрывается смысл второго и последующих уравнений. Последнее условие говорит о том, что число предприятий не может быть отрицательным.
Необходимо определить, какое количество предприятий каждого типа следует иметь, чтобы общие издержки были минимальными.
Рис. 1. График оптимального распределения ресурсов
В нашем примере, когда п - т = 2, каждое из ограничительных линейных уравнений, а также линейная функция могут быть представлены геометрически в двухмерном пространстве (на плоскости).
Чтобы представить ограничения и целевую функцию на графике, необходимо выразить все известные через независимые величины. Например, x1 и х2, соответствующие координатным осям, относительно которых будет производиться построение (рис. 1).
Каждому из неравенств на графике рис. 1 соответствует полуплоскость, в пределах которой находятся все допускаемые данным неравенством значения переменной величины xj (j = 1, 2, ., 6). Так, неравенству x1 ³ 0 соответствует полуплоскость вправо от оси х2 (граница ее заштрихована). Неравенству x3 = 8x1 + 12х2 - 16 ³ 0 соответствует полуплоскость вправо и вверх от линии граничного значения данного неравенства (при х3 = 0). Уравнение этой линии:
Таким же образом можно построить границы, определяемые другими уравнениями.
Неравенствам соответствует некоторая область – шестиугольник ABCDEF, образованный границами упомянутых выше полуплоскостей. Эта область может быть названа областью допустимых планов, поскольку любая точка в ее пределах отвечает требованиям наложенных ограничений.
Из всех допустимых планов нас интересует оптимальный план, при котором функция цели у достигает минимума.
Целевой функции соответствует семейство параллельных прямых. Рассмотрим одну из них, проходящую через начало координат, что будет иметь место при у = 22,8. При этом x2 = 3x1.
Интересующая нас прямая у = 22,8, как видно на рис. 16.1, имеет наклон вправо от оси х2. Задаваясь различными значениями у, получим семейство прямых линий, параллельных прямой у = 22,8, проходящей через точку 0. При этом чем меньше будет значение у, тем, очевидно, правее будет располагаться соответствующая прямая.
Поскольку мы добиваемся минимального значения у, то нас будет интересовать прямая, расположенная в наибольшем удалении вправо от прямой у = 22,8 и проходящая через многоугольник ABCDEF, – прямая ymin.
Единственной точкой, соответствующей оптимальному плану, будет та вершина многоугольника ABCDEF, которая одновременно принадлежит области допустимых планов и отвечает требованию минимизации целевой функции у, - вершина С. Из уравнения прямой ЕС, проходящей через точку С, следует, что х1 = 4. Из уравнения прямой DC, проходящей через ту же точку, следует, что x2 = 0.
Подставляя полученные значения x1 = 4 и x2 = 0 в уравнения, определим величины остальных переменных, составляющих оптимальный план:
Таким образом, оптимальный план будет следующим:
Линейная форма (величина издержек) при этом будет минимальной:
На практике встречается ряд задач, аналогичных рассмотренному примеру, но требующих максимизации целевой функции (например, величины дохода или прибыли).