Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса

2.1 Квадратичное приближение таблично заданной функции по дискретной норме Гаусса

Рассмотрим задачу приближения функции в случае использования невязки в форме (6). Т.е. используем дискретную норму Гаусса:

(10)

где неизвестная функция аппроксимируется функцией из (9). Для известны лишь значения в различных точках , т.е. , где . Таким образом, для определения имеем задачу: найти точку минимума - невязки функции Гаусса - для таблично заданной функции , если

, (где ). (11)

Очевидно, что условия минимума дискретной функции невязки Гаусса - имеют вид:

, (12)

Эти условия для (11) преобразуются к виду:

, (13)

Раскрывая систему (13) получаем систему уравнений для определения коэффициентов разложения в виде:

(14)

Нетрудно увидеть, что вводя скалярные произведения в соответствующем функциональном пространстве в виде:

(15)

систему (14) можно переписать в нормальном виде Гаусса:

(16)

Ясно, что эта система имеет единственное решение, т.к. определитель системы (16) совпадает с определителем

Грама для базисных функций - которая отлична от нуля вследствие линейной независимости базисных функций.

Найдя из системы (16) и подставляя в (9) мы получаем функцию:

(17)

которая является приближением к функции в смысле минимума квадратичного отклонения Гаусса (10) по норме индуцированной скалярным произведением (15), действительно:

(18)

а дискретная норма Гаусса невязки имеет вид:

(19)

2.2 Интегральное приближение функции заданной аналитически

В предыдущем параграфе мы рассматривали приближение функции методом наименьших квадратов, предполагая, что значения функции заданы таблично, поэтому мы пользовались дискретной нормой Гаусса .

Рассмотрим теперь случай, когда аналитически заданную, на интервале , функцию - надо аппроксимировать обобщённым многочленом:

(20)

так, чтобы минимизировалась интегральная норма невязки Гаусса :

(21)

иначе говоря, нам нужно минимизировать интеграл

(22)

Для решения этой задачи подставим (20) в (22), тогда функционал (22) превратится в функцию многих переменных, т.е. . Условия же минимума функции многих переменных имеют вид:

, (23)

Эти условия приобретают вид:

(24)

т.е.

(25)

Определитель этой системы представляет собой определитель Грама для функций , в , поэтому система (25) имеет единственное решение . Подставляя эти значения в разложение (20) имеем приближение для . Характер приближения оценивается соответствующей нормой невязки .

Задача аппроксимации функции заданной аналитически часто применяется для вычисления интегралов.

2.3 Числовые примеры на применение метода наименьших квадратов Гаусса для приближения функций заданных таблично или аналитически

а) Рассмотрим пример в случае табличного задания функции :

Пример 1: пусть функция задана таблично:

 Скачать реферат