Интегральное исчисление

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при

Решение: имеем линейное уравнение первого порядка. будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций от х:

Запишем исходное выражение в виде:

Выберем функцию такой чтобы выражение в скобках равнялось нулю:

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим:

Так как выражение в скобках подобрано так, чтобы оно равнялось нулю, подставим найденное значение в уравнение для определения u.

Таким образом находим общее решение системы

Подберем переменную С так чтобы выполнились начальные условия , что будет являться частным решением дифференциального уравнения:

Полученное частное решение дифференциального уравнения, соответствующее поставленным начальным условиям.

Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , при . (,)

Решение: Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка:

Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения y* и общего уравнения y соответствующего однородного уравнения:

Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения (то есть такого, в котором правая часть равна нулю) необходимо найти корни характеристического уравнения и по ним определить вид решения.

Характеристическое уравнение в нашем случае есть:

имеет действительные и различные корни: , .

Общий интеграл есть:

Правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид: , где - многочлен 0-й степени, =2 (не является корнем характеристического многочлена).

поэтому частное решение следует искать в виде:

где - постоянный коэффициент, подлежащий определению. Подставляя y* в заданное уравнение, будем иметь:

Имеем решение . Итак, частное решение нашли в виде:

Таким образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид:

Для определения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия:

При х=0 функция равна 2

При х=0 первая производная функции равна -1:

Составим систему из этих двух уравнений и решим её относительно неизвестных С1 и С2

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения запишется в виде:

Размещено на Allbest.ru

 Скачать реферат