Исследование полета снаряда

Распишем:

То же самое в проекциях на OX и OY:

Распишем силы:

причем знак минус показывает что вектор силы

(и ускорения) направлен противоположно вектору скорости.

Подставим их в проекции:

причем знак минус перед mg появился из-за того что ax направлен вверх, а g – вниз.

Поделив на m получим выражения для проекций ускорения:

Или:

Учтем что:

Получим:

Возьмем интеграл для составляющей OX:

Взятие интеграла для составляющей OY аналогично, но полученное выражение будет отличаться от выражения для OX на величину

" :

В результате получены выражения удобные для обработки с помощью ODE в MATLAB

Matlab

Проверка корректности

Вначале убедимся в корректности нашего метода (построим 3 траектории: с помощью явного задания уравнений движения, с помощью ODE без сопротивления воздуха и с помощью ODE с учетом сопротивления (но с зануленным баллистическим коэффициентом)). Кроме того необходимо сказать что данные масса, калибр, начальная скорость и баллистический коэффициент взяты для снаряда 76-мм дивизионной пушки образца 1939 года (УСВ): m-файл:

function polet

clear all

global Cx S Pv m a V0 g y

V0 = 680; % начальная скорость

a = 45; % угол бросания (возвышения орудия)

g = 9.8; % ускорение свободного падения

m = 6.3; % масса снаряда

cal = 76; % калибр (в мм)

S = pi * ( cal / 1000 ) ^ 2 % площадь поперечного сечения снаряда (мидель)

Cx = 0; % аэродинамический(баллистический) коэффициент

Pv = 1.225; % плотность воздуха (на уровне моря)

NU = [0; 0]; % координаты в начальный момент времени

t = 100; % время, в течение которого ведется расчет

hold

% проверка (явное задание)

tp = 0:t;

x = V0 * cosd(a) * tp;

y = V0 * sind(a) * tp - g .* tp.^2 / 2;

plot (x, y, 'r*')

%без сопротивления

[T,Y]=ode45(@Simple, [0 t], NU);

plot(Y(:, 1), Y(:, 2), 'b')

%с сопротивлением

[T2,Y2]=ode45(@Complex, [0 t], NU);

plot(Y2(:, 1), Y2(:, 2), 'g.')

xlabel 'Range'

ylabel 'Height'

axis([0 50000 0 50000])

grid

function Simple = Simple(t, x)

global m a V0 g

Simple = [ V0 * cosd(a) ; V0 * sind(a) - g * t ];

function Complex = Complex(t, x)

global Cx S Pv m a V0 g

Complex = [ ( 2*m*V0*cosd(a) ) / ( Cx*S*Pv*V0*cosd(a).*t + 2*m ) ;

( 2*m*V0*sind(a) ) / ( Cx*S*Pv*V0*sind(a).*t + 2*m ) - g.*t ];

Графическая интерпретация:

Увеличим:

Как видно из графиков, снаряд данного орудия в отсутствии сопротивления воздуха способен пролететь 45 км. Однако добавление сопротивления среды катастрофически сказывается на дальности:

Получаем вполне реалистичную картину, дальность полета данного снаряда (при угле возвышения 45 градусов) составляет около 5.5 км.

В дальнейшем не будем строить проверочные графики.

Влияние различных факторов на дальность полета снаряда и его траекторию

Начальная скорость

Графики наглядно иллюстрируют, что удвоение начальной скорости не приводит к аналогичному увеличению дальности, кроме того, можно отметить снижение воздействия сопротивления воздуха при уменьшении скоростей (график для малой скорости ближе к параболе)

Баллистический коэффициент снаряда

Баллистический коэффициент оказывает куда большее влияние на полет снаряда, с его уменьшением на 25% дальность возрастает 1.2 км. Однако его уменьшение технически весьма проблематично. Выходом может являться уменьшение калибра снаряда, но это скорее всего приведет к снижению массы, что негативно скажется на дальности. Таким образом улучшение аэродинамических характеристик снаряда является как наиболее эффективным средством увеличения дальности, так и наиболее сложным в техническом плане.

Угол возвышения орудия

Мы получили экспериментальное подтверждение того, что угол наибольшей дальности менее 45 градусов и составляет порядка 30-35 градусов

Масса снаряда

Зависимость от массы очень похожа на зависимость от баллистического коэффициента (БК), например увеличение массы вдвое эквивалентно уменьшению вдвое БК. Однако при этом необходимо помнить что для придания снаряду большей массы той же начальной скорости что и снаряду стандартной массы необходимо увеличение количества взрывчатого вещества (пороха) в снаряде (здесь под снарядом подразумевается не только "болванка", полет которой мы изучаем, но и гильза, ВВ и т.п.). Кроме того скорее всего потребуется упрочнение орудия, что может быть признано нерациональным для орудия данной категории и калибра.

баллистика снаряд траектория программа

Листинг (m-файл)

function polet

clear all

global Cx S Pv m a V0 g y

V0 = 680; % начальная скорость

a = 45; % угол бросания (возвышения орудия)

g = 9.8; % ускорение свободного падения

 Скачать реферат