Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений - графический и функциональный

Следствие 2. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнение равносильно системе

Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основа

ны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическим методом.

Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ѓ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическое уравнение вида

R(sinkx, cosnx, tgmx, ctglx) = 0 (3)

где R – рациональная функция, k,n,m,lÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению уравнению относительно аргументов sinx, cosx, tgx, ctgx, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x/2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)

sinx= cosx=

1+tgІ(x/2) 1+tgІ(x/2)

(4)

2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)

tgx= ctgx=

1-tgІ(x/2) 2tg(x/2)

Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZ корнями исходного уравнения.

Практикум

sinx +√2-sinІx + sinx√2-sinІx = 3

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть u = sinx и v = +√2-sinІx . Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0. Кроме того, имеем uІ + vІ =2.

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений

u + v + uv = 3

uІ + vІ =2

Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует

r + s = 3

rІ - 2s = 2

Отсюда с учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место

u + v = 2

uv = 1

u = v = 1

Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx = 1 и x = π/2+2πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

cos=x2+1

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

cos≤1 x2+1≥1 =>

cos=1

x2+1=1 x=0

Ответ: х=0

5sinx-5tgx

+4(1-cosx)=0

sinx+tgx

Данное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kÎZ, а sinx+tgx=0 при x = πk, kÎZ, то углы x = πk/2, kÎZ не входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x/2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим

2t 2t

5 -

1+tІ 1-tІ 1-tІ

+4 1- =0

2t 2t 1+tІ

+

1+tІ 1-tІ

Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению

8tІ

-5tІ + = 0 ó-5-5tІ + 8 = 0

1+tІ

откуда t = ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arctg√3/5 +2πk, kÎZ

Ответ: x = ±2arctg√3/5 +2πk, kÎZ

tgx+ctgx+tgІx+ctgІx+tgіx+ctgіx=6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y=tgx+ctgx, тогда tgІx+ctgІx=yІ-2, tgіx+ctgіx=yі-3y

yі+yІ-2y-8=0

y=2

Так как tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Отсюда следует, что tgx=1 и x = π/4+πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

 Скачать реферат