Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
Согласно теореме Лагранжа о среднем
, где
,
следовательно,
.
Отсюда длина ломаной линии равна
.
Переходя к предел
у в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:
.
Данный интеграл существует, поскольку по условию производная непрерывна.
Из полученной формулы можно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как в математике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положение правого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будет функцией точки, в которой она заканчивается, то есть
.
Возьмем производную данного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):
.
Отсюда следует, что
.
6. Длина дуги кривой при ее параметрическом задании
Рассмотрим теперь случай, когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, то есть при этом изменение
от
до
приводит к изменению
от
до
. Пусть функции
и
непрерывны вместе со своими производными на отрезке
и при этом
. Тогда
, а
. Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):
.
В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:
Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке , то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле
.
7. Длина дуги в полярной системе координат
Если кривая задана в полярной системе координат, то она описывается функцией , где
. Пусть
непрерывна вместе со своей производной на отрезке
.
Перейдем от полярной к прямоугольной системе координат: . Но так как
, то получаем, что
. Иначе говоря,
и
выражены через параметр
, поэтому можно воспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):
Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:
.
Обычно данную формулу записывают следующим образом:
.
8. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.
Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси между точками
и
. Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь
его любого поперечного сечения плоскостью
, то есть плоскостью, перпендикулярной оси
. Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то
. В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то
будет непрерывной функцией.
Разобьем отрезок точками
на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси
. Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев:
.
Найдем приближенно величину объема -ого слоя
. Для этого рассмотрим отрезок
, длина которого равна
. Возьмем некоторую точку
и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси
. Если
достаточно мало, то слой, соответствующий объему
, можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным
. Но в этом случае, как и у кругового цилиндра,
. Отсюда следует, что
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах