Логика высказываний
Отрицаем последнее выражение:
_ _ _
(`рÚр) Ù(`р Ú`q) ≡(`рÚр) Ú (`р Ú`q) ≡ (`р Ù`р) Ú (`р Ù`q) ≡(р Ù`р) Ú (р Ùq)
Приведение формулы к нормальной форме дает иной, чем таблицы истинности метод решения проблемы разрешимости.
Чтобы формула была тождественно истинной необходимо и дос
таточно, чтобы в ее конъюнктивной нормальной форме каждый конъюнктивный член содержал элементарное высказывание вместе со своим отрицанием.
Доказательство получаем из (25)(91) и (15), а также определения конъюнкции. Так формула (р Ú `рÚ q) Ù( р Ú `qÚ q) тождественно истинна.
Чтобы формула была тождественно ложной необходимо и достаточно, чтобы в ее дизъюнктивной нормальной форме каждый дизъюнктивный член содержал элементарное высказывание вместе со своим отрицанием. Так формула:
(р ÙrÙ`р) Ú ( р Ù r Ù`r ) тождественно ложна.
Доказательство получаем из того, что р Ù`р≡0, (16) и определения дизъюнкции.
Формула будет выполнимой, если в ее дизъюнктивной нормальной форме есть хотя бы один дизъюнктивный член, который не содержит элементарное высказывание вместе со своим отрицанием.
В самом деле, если это условие для какой-то формулы выполнено, то для этого дизъюнктивного члена существует такой набор значения переменных, для которого он равен 1. Тогда согласно (18) для этого набора значений переменных формула принимает значение, равное1.
Например, докажем, что формула р≡ q выполнима. Приводим эту формулу к дизъюнктивной нормальной форме:
(р≡ q ) ≡(р® q) Ù(q ®р) ≡ (`р Ú q) Ù(`q Úр) ≡((`р Ú q) Ù`q) Ú((`р Ú q) Ùр) ≡ ≡ (`р Ù`q) Ú (q Ù`q) Ú (`р Ù р) Ú (q Ùр) ≡ (`р Ù`q) Ú (q Ùр) ≡ (q Ùр) Ú(`р Ù`q).
Каждый дизъюнктивный член не содержит элементарное высказывание вместе со своим отрицанием. А значит формула р≡ q выполнима.
5 СОВЕРШЕННАЯ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. СОВЕРШЕННАЯ КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
Мы знаем, что одна и та же формула может быть представлена различными дизъюнктивными нормальными формами. Среди этих форм имеется совершенная дизъюнктивная нормальная форма, которая удовлетворяет условиям:
a) в ней нет двух одинаковых дизъюнкций;
b) ни одна дизъюнкция не содержит двух одинаковых конъюнкций;
c) ни одна дизъюнкция не содержит переменного высказывания вместе со своим отрицанием;
d) каждая дизъюнкция содержит в качестве дизъюнктивных членов все переменные, входящие в формулы.
Имеется два метода приведения формулы к дизъюнктивной нормальной форме.
Первый состоит в следующем: составляется истинностная таблица формулы и находятся все наборы значений переменных высказываний, при которых формула принимает значение «истина». Затем выписываются конъюнкции элементарных высказываний, отвечающие этим наборам, знаки отрицания расставляются над этими высказываниями, так, чтобы эти конъюнкции были истинными; наконец, конъюнкции соединяются знаком дизъюнкции.
Исходная формула будет равносильна выписанной дизъюнктивной нормальной форме.
В самом деле, при соблюдении требований расстановки знаков отрицания над переменными все выписанные конъюнкции будут истинными, а потому совершенная дизъюнктивная нормальная форма будет иметь тоже истинностное значение, что и исходная формула.
Например, чтобы привести формулу (р®q)Úq®rÚq к дизъюнктивной нормальной форме, составляем таблицу истинности этой формулы. Она имеет вид:
|
р |
q |
r |
р®q |
(р®q)Úq |
rÙ q |
(р®q)Úq®rÚq |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
По сформулированному алгоритму получаем:
(р®q)Úq®rÚq º (`рÙ qÙ r) Ú( р Ù`qÙ`r ) Ú ( р Ù`qÙr)Ú ( р ÙqÙr).
Другой метод приведения формулы к совершенной дизъюнктивной нормальной форме заключается в следующем: приводим формулу к дизъюнктивной нормальной форме, а затем приписываем в каждом дизъюнктивном члене недостающие переменные согласно правилу (24).
Так , для формулы (р®q)Úq®rÚq имеем следующую цепочку преобразований _ _
Скачать реферат