Свободные полугруппы

(2). Пусть - произвольное отображение множества Х в некоторую полугруппу Е с операцией . Определим элемент полугруппы Е индукцией по . Ес

ли =1,w принадлежит Х и мы положим

(*)

Если >1, то w=w’x где < и х принадлежит Х. Тогда и уже определены. Положим

(**)

Покажем, что отображение : WЕ является гомоморфизмом, то есть что для любых .

Проведем индукцию по длине второго сомножителя . Если =1, то доказываемое следует из равенства (**). Если >1, то =’ х, где < и х принадлежит Х. Поэтому, учитывая (**) и индуктивное предположение получаем:

Кроме того, если х принадлежит Х, то в силу равенства (*). Итак, условия (1) и (2) выполнены. Ч.т.д.

Теорема 1.2. (свойство универсальности свободной полугруппы).

Для всякой полугруппы Е найдутся свободная полугруппа S и гомоморфное наложение : SЕ.

Доказательство. Пусть S – свободная полугруппа со свободно порождающим множеством Е. В силу свойства (2) из определения свободной полугруппы, тождественное отображение множества Е на себя продолжается до гомоморфизма : SЕ, который в данном случае оказался наложением. Ч.т.д.

Теорема 1.3. (о единственности свободной полугруппы).

Если S=S(x) – свободная полугруппа со свободно порождающим множеством Х, то существует изоморфизм полугруппы S на полугруппу W=W(x) слов в алфавите Х, причем , для всех х принадлежащих Х.

Доказательство. По Т1. и свойству (2) из определения свободной полугруппы, тождественное отображение множества Х на себя продолжается до гомоморфизмов : SW и: WS, причем , для любых х принадлежащих Х. Таким образом Хи Х.

По теореме “Если : АВ – гомоморфизм полугруппы, то - подполугруппа В ”и свойству (1) и , то есть как ,так и оказываются наложениями. Более того, поскольку для всех х принадлежащих Х, не трудно заметить, что для любого слова w в алфавите Х, то есть . Если некоторых a,b принадлежащих W, то

Следовательно - вложение, а значит и изморфизм. Ч.т.д.

Теорема 1.4. (об изоморфности свободных полугрупп)

Свободные полугруппы S(X) и S(Y) изоморфны равномощны множества X и Y.

Доказательство. Необходимость. По теореме 1.3. имеем S(X)W(X) и S(Y) W(Y). В полугруппе W(X) неразложимыми элементами будут в точности буквы алфавита Х.

Пусть S(X) S(Y). Тогда W(X) W(Y). Поскольку при изоморфизме полугрупп сохраняются все алгебраические свойства, то неразложимые элементы перейдут в неразложимые. Значит между X и Y будет установлено взаимно однозначное соответствие.

Достаточность. Пусть X равномощно Y, то есть существует биекция f множества X на множество Y. Тогда f продолжается до гомоморфизма , а обратное продолжается до гомоморфизма .

Легко видеть, что гомоморфизмы и взаимно обратны - это изоморфизм свободных полугрупп S(X) и S(Y).Ч.т.д.

 Скачать реферат