Особые свойства Гамма-функции Эйлера

Левая часть равенства (2.1) записывается следующим образом:

Тогда уравнение (2.1) для образа гамма-функции имеет вид:

Это уравнение легко решить:

(2.2)

Нетрудно заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что внеинтегральный член в формуле (2.2) равен нулю.

Зная образ гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:

Это неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером, надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл примет вид:

Постоянная C выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией факториал: Г(n+1) = n!, тогда:

следовательно C = 1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:

(2.3)

Эта функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.

Проверить, что функция, определенная формулой (2.3), действительно удовлетворяет уравнению (2.1), можно, проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:

2.3 Область определения и полюсы

В подынтегральной функции интеграла (2.3) при экспонента exp(-tz) при R(z) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая функция t(z-1). Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому несобственный интеграл в (2.3) сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательным дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z) - голоморфная функция при R (z) > 0. Однако, непригодность интегрального представления (2.3) при R (z) 0 не означает, что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (2.1).

Рассмотрим поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:

где - голоморфная функция в окрестности z = 0. Из формулы (2.1) следует:

Тогда

то есть Г(z) имеет полюс первого порядка при z = 0.

Также легко получить:

то есть в окрестности точки функция Г(z) также имеет полюс первого порядка.

Таким же образом можно получить формулу:

(2.4)

Из этой формулы следует, что точки z = 0,-1,-2, . - простые полюсы гамма-функции и других полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в точке z = -n, n = 0,1,2, .:

2.4 Представление Ганкеля через интеграл по петле

Выясним, имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию

Полюсы этой функции и есть нули функции Г(z).

Разностное уравнение для I(z) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z):

Выражение для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование Лапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, как и в п.1).ии теграла будут точки

или

После разделения переменных получим:

Проинтегрировав получаем:

или

Переход к прообразу Лапласа дает:

В полученном интеграле сделаем замену переменной интегрирования:

тогда

Здесь важно заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет точку ветвления t = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза от до 0 и интеграла от 0 до по нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления, устроим вокруг нее петлю.

Рис1: Петля в интегральном представлении Ганкеля.

В результате получим:

Чтобы выяснить значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:

Интегральное представление

(2.5)

называется представлением Ганкеля по петле.

Легко видеть, что функция 1/Г(z) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей.

С помощью этого интегрального представления можно получить формулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной , тогда:

то есть

 Скачать реферат