Модификация метода построения тестов для конечных автоматов относительно неразделимости

1. P = Æ;

2. P = P È Pi для каждого подмножества Pi множества K, для которого путь из корня в вершину Current содержит (2|Pi|×m-1) вершин, помеченных подмножествами Pi (или (2|Pi|×m-1) вершин в случае s0 Î Pi);

3. P = P È Pj для всех существующих пар Pi Î P и Pj Ï P (Pj Ì K) таких, что Pi Ç Pj = Q и путь из корня в вершину C

urrent содержит (2(|Pj|-|Q|)×m-1) вершин, помеченных подмножествами Pj, если s0 Ï Pj или s0 Î Q, либо (2(|Pj|-|Q|)×m-1) вершин в случае s0 Î Pj.

Шаг 2. Включаем в TS каждую входную последовательность, которая помечает путь из корня к листу в усеченном дереве.

Теорема 2.

Для заданного эталонного автомата S и целого числа m алгоритм 3 доставляет полный проверяющий тест относительно модели неисправности <S, (£,≁),Âm >.

Доказательство.

1. Рассмотрим самый общий случай – подмножество K состояний из множества S, и начальное состояние s0 Ï K. Согласно алгоритму 1, вершина усеченного дерева преемников TreeS, помеченная подмножеством K, объявляется листом дерева, если путь из корня в эту вершину содержит 2|K|×m вершин, помеченных подмножествами множества К. Это соответствует перебору всех возможных подмножеств К¢ в усеченном дереве приемников TreeST, построенному по пересечению эталонного автомата S и некоторой реализации T, где К¢ – это подмножество состояний пересечения S  T таких, что первый символ каждой пары из К¢ содержится в К.

Предположим, что существует такое подмножество состояний P из множества K, что до некоторого lго уровня дерева на пути из корня в вершину Current перебраны все возможные подмножества P. Множество P строится итеративно следующим образом:

Шаг 1. P = Æ.

Шаг 2. P = P È Pi для каждого подмножества Pi множества K, для которого путь из корня в вершину Current содержит (2|Pi|×m-1) вершин, помеченных подмножествами Pi. Добавление каждого такого Pi в множество P справедливо, т.к. если путь содержит указанное количество повторов, то этим перебираются все возможные варианты подмножеств Pi.

Шаг 3. P = P È Pj для всех существующих пар Pi Î P и Pj Ï P (Pj Ì K) таких, что Pi Ç Pj = Q и путь из корня в вершину Current содержит (2(|Pj|-|Q|)×m-1) вершин, помеченных подмножествами Pj. В данном случае Pi уже было добавлено в P на шаге 2, и для него уже встретилось (2|Pi|×m-1) вершин, помеченных подмножествами Pi. Следовательно, для Pj, пересекающегося с Pi, на данном пути дерева уже точно содержится (2|Q|×m-1) вершин, помеченных подмножествами Pj, значит для того, чтобы были перебраны все варианты подмножеств Pj, достаточно встретить еще (2(|Pj|-|Q|)×m-1) вершин.

Для построенного таким образом P (если P ¹ Æ) на соответствующем пути в дереве TreeST будут перебраны все возможные подмножества P¢ (P¢ – это подмножество состояний S  T таких, что первый символ каждой пары из P¢ содержится в P). Значит, далее на данном пути в дереве TreeST из рассмотрения можно исключить вершины, помеченные подмножествами К¢, которые содержат подмножества P¢ – поэтому рассматриваемых вершин, помеченных подмножествами K, не содержащих подмножеств P, будет 2(|K|-|P|)×m . Но также необходимо учесть все n вершин, помеченных подмножествами К, содержащими подмножества P, которые встретились на рассматриваемом пути в дереве TreeS выше, чем lй уровень, т.к. из данных вершин подмножества P исключать не можем. Следовательно, количество вершин, помеченных подмножествами K, для усечения дерева в таком случае составляет 2(|K|-|P|)×m+n вершин.

2. Далее рассмотрим случай, когда s0 Î K, но s0 не принадлежит множеству P. По алгоритму 1 для случая s0 Î K вершина, помеченная подмножеством K, объявляется листом, если путь из корня в данную вершину содержит (2|K|×m-1+1) вершин, помеченных подмножествами множества K. Если же на данном пути для каждого Pi Î P встретилось, как и в предыдущем случае, необходимое число вершин, помеченных подмножествами Pi, то листовой будет являться вершина, путь из корня в которую содержит 2(|K|-|P|)×m-1+n+1 вершин, помеченных подмножествами K.

3. Если s0 Î K и s0 Î P, т.е. s0 принадлежит одному из подмножеств Pj Î P, то необходимо, чтобы на рассматриваемом пути дерева встретилось (2|Pj|×m-1) вершин, помеченных подмножествами Pj, если Pj добавляется к P на шаге 2 построения множества P, либо (2(|Pj|-|Q|)×m-1) вершин – если на шаге 3. Для остальных подмножеств Pi из P требуется встретить такое же количество вершин, как и в случае 1. Тогда можно исключить подмножества P из вершин, помеченных подмножествами K начиная с lго уровня, и вершина, помеченная подмножеством K, объявляется листом, если путь из корня в данную вершину содержит 2(|K|-|P|)×m+n вершин, помеченных подмножествами множества K.

4. Если для данного пути дерева P = Æ, то |P| = 0, n = 0 и пользуемся алгоритмом 2.

На рисунке 9 представлено усеченное дерево преемников для спецификации, изображенной на рис. 5, построенное согласно алгоритму 3. Суммарная длина полного проверяющего теста в этом случае составляет 200 символов, что на 77 символов меньше, чем для алгоритма 2.

Рисунок 9 – Усеченное дерево преемников, построенное по алгоритму 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе изучен метод построения тестов для недетерминированных автоматов относительно модели "черного ящика", предложенный в работе [1]. Этот метод, в отличие от других методов синтеза тестов для недетерминированных автоматов, не ориентирован на выполнение предположения "о всех погодных условиях". Исследованы возможные подходы к улучшению рассмотренного метода и предложена модификация данного метода. Показано, что тест, построенный согласно модифицированному методу, будет по-прежнему полным, но при этом менее избыточным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Natalia Shabaldina, Khaled El-Fakih, Nina Yevtushenko. Testing Nondeterministic Finite State Machines With Respect to the Separability Relation. Lecture Notes in Computer Science, 2007(4581), pp. 305-318.

2. Шабалдина Н.В., Евтушенко Н.В. Построение тестов для конечных автоматов относительно неразделимости. Вестник ТГУ. Приложение. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика". 2007. № 23. С. 287– 290.

3. Евтушенко Н.В., Петренко А.Ф., Ветрова М.В. Недетерминированные автоматы: анализ и синтез. Ч. 1. Отношения и операции. – Томск: Томский государственный университет, 2006. – 142 с.

4. Евтушенко Н.В., Спицина Н.В. О верхней оценке длины разделяющей последовательности

 Скачать реферат