Алгебраические группы матриц

Введение

Множество матриц -ой степени над будем рассматривать как аффинное пространство с имеющейся на ней полином

иальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа . В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.

Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:

где

- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.

Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.

Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из в .

Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из --- алгебраическая группа. Она обозначается и называется алгебраической группой, порожденной множеством .

Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из в силу формулы

Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.

Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму на .

Пусть --- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), --- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть

т. е. --- структурные константы алгебры . Пусть далее

где . Тогда задается в матричных координатах очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений

Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.

В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.

1.1.1 Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу конечного индекса, то сама алгебраическая.

Доказательство. Пусть - аннулятор группы в , - его корень в . Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть - смежные классы по . Для каждого выберем многочлен

 Скачать реферат