Алгебраические группы матриц

Доказательство. Множества и тоже густые и плотные, поэтому пересечение непусто (см. п. 8.2).

Если --- полугруппа из 24 src="images/referats/3158/image005.png">, то .

1.3 Компоненты алгебраической группы

Пусть --- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия называеются компонентами группы . наличие в групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.

1.3.1 Теорема. Пусть --- алгебраическая группа матриц. Её компонента , содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы по (в частности, они являются связными компонентами группы в полиномиальной топологии). --- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в . Аннулятор компоненты связан с аннулятором всей группы следующим образом:

для некоторого , зависящего от

, где --- аннулятор единицы в , --- некоторый многочлен из .

Доказательство. а) Пусть --- общее поле определения всех компонент группы . Пусть , содержат единицу , , --- их независимые общие точки над и , . Имеем специализации

над , откуда , , . Этим доказана единственность компоненты .

б) Очевидно, что отображения

являются гомеоморфизмами пространства . Так как инвариантна относительно них, то --- нормальная подгруппа группы .

в) Пусть . Тогда при фиксированном --- снова все компоненты группы . В частности, , . Этим доказано, что --- смежные классы по и, значит, связные компоненты группы .

г) Если --- связная замкнутая подгруппа группы , то, предыдущему, . Если, кроме того, конечного индекса, то она той же размерности, что и , потому совпадает с .

д) Для каждого возьмем многочлен

Пусть --- точка из , в которой . Рассмотрим многочлен

Он искомый. В самом деле, очевидно, . Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала ). Остается доказать включение

Пусть , . Имеем:

 Скачать реферат