Алгебраические группы матриц

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

2.2.2 Теорема. Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы 16 height=17 src="images/referats/3158/image007.png">и обозначается символом ).

Доказательство. Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками , матрицу можно привести к ступенчатому виду:

с . Согласно лемме так что нам достаточно доказать равенство .

Столбцы матриц и с номерами , отвечающими главным неизвестным линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения

связывающего векторы-столбцы , , матрицы (3), получим последовательно: , , , , , а так как , то . Значит, и . Но пространство , порожденное столбцами матрицы , отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из удалением последних нулевых строк. Поэтому . Сопоставление двух неравенств показывает, что (неравенство вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).

С другой стороны, все ненулевые строки матрицы линейно независимы: любое гипотетическое соотношение

как и в случае со столбцами, дает последовательно , , , . Откуда . Стало быть,

2.3 Критерий совместности

Ступенчатый вид матрицы , дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается

Следствие. Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно , где --- матрица системы.

Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы (см. (3)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы . Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств.

В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.

2.3.3 Теорема. (Кронекер - Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы

Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как вопрос о представлении вектора-столбца свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов матрицы . Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то и , откуда (см. формулировку теоремы 1).

Обратно, если ранги матриц и совпадают и --- какая-то максимальная линейно независимая система базисных столбцов матрицы , то расширенная система будет линейно зависимой, а это означает, что --- линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов . Стало быть, система (2) совместна.

 Скачать реферат