Некоторые приложения дифференциального исчисления

Признаки возрастания и убывания функции

Функция f(x), заданная на интервале, называется возрастающей, если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функций, т.е. если как только x2 > x1 ,так и f(x2)>f(x1). Функция называется убывающей, если из x2 > x1 следует f(x2)<f(x1). Возрастающие и убывающие функции носят общее название монотонных функций. Функция

называется кусочно монотонной, если любой конечный интервал, содержащийся в ее области определения, состоит из нескольких интервалов, на каждом из которых функция монотонна (рис. 1).

Рис. 1

Основной принцип дифференциального исчисления дает простые признаки возрастания и убывания дифференцируемых (т.е. имеющих производную) функций.

Пусть функция f (х) возрастает на некотором интервале. Тогда ее график представляет собой линию, поднимающуюся при движении слева направо (рис. 2). Поэтому маленький отрезок касательной, почти совпадающий с кусочком графика, примыкающим к точке касания, будет тоже поднимающимся или, в крайнем случае, будет горизонтальным отрезком. Следовательно, угловой коэффициент касательной в любой точке кривой (т.е. значение производной) больше или равен нулю.

Рис. 2

Справедлива теорема:

Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале и внутри него имеет конечную производную . Для того чтобы f(x) была на интервале монотонно возрастающей в широком смысле, необходимо и достаточно условие

Необходимость. Если f(x) монотонно возрастает, то, взяв х из промeжутка и придав ему приращение будем иметь:

,

и в пределе, при :

Достаточность. Пусть дано, что внутри промежутка. Возьмем два значения x1 и x2 () из промежутка и к функции f(x) в промежутке [] применим формулу Лагранжа:

где (x1<c<x2). Так как , то , то есть функция f(x) – возрастающая. Теорема доказана.

Для убывания функций имеются признаки, которые аналогичны признакам возрастания.

Теорема 2. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале и внутри него имеет конечную производную . Для того чтобы f(x) была на интервале монотонно убывающей в широком смысле, необходимо и достаточно условие

Связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически очевидна, так как производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого угловогПримеры

1) Функция f(x)=x3. Она возрастает, но её производная при x=0 обращается в 0.

2) Для возрастающей функции производная может даже в конечном промежутке обращаться в 0 бесконечное множество раз. Рассмотрим функцию

, для x>0

, таким образом функция непрерывна и при x=0. Для x>0:

Эта производная обращается в 0 при (k=0,1,2,…). При этом при

Следовательно,

3) Найти промежутки монотонности функции используя достаточные условия возрастания и убывания функции на интервале.

Находим производную

Рис. 3

На рисунке 3 показано распределение знаков производной по числовой оси. Применяя достаточные условия монотонности функции на интервале получаем, что у(х) возрастает на [-1; 1], убывает на (; -1] и на [1;). Обратите внимание на то, что концы интервалов (точки х =-1 и х=1) включаются как в интервал, на котором функция убывает, так и в интервал, на котором функция возрастает.

Замечание. При решении задач практического содержания часто можно не проверять аналитически достаточность условийэкстремума (с помощью первой или второй производной коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею - идет ли вверх или вниз и сама кривая.

Но в отдельных точках касательная при этом может оказаться и горизонтальной, т.е. производная - даже в строгом смысле - возрастающей (убывающей) функции может для отдельных значений х обращаться в 0.

Не каждая стационарная точка доставляет функции экстремум: необходимое условие не является достаточным. Например, для функции производная обращается в нуль при x=0, но в этой точке функция не имеет экстремума: она всё время возрастает.

Если точка - стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для нее двусторонней конечной производной, то точка х0 является лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит проверке достаточных условий для существования экстремума. Предположим, что для функции f(x) в промежутке (a.b) существует конечная производная. Если в точке x0 функция имеет экстремум, то применив к промежутку теорему Ферма (пусть функция f(x) определена в некотором промежутке и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная в этой точке, то необходимо ), получим, что : в этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум нужно искать только в тех случаях, где производная равна 0. Эти точки называются стационарными.

 Скачать реферат