Функции

Аналогичные рассуждения показывают, что функция, представленная на графике (в), будет одновременно и инъективна и сюръективна, т.е. является биекцией, а функция, изображенная на графике (г), одновременно не является ни инъективной, ни сюръективной.

Если f:Х ® У и А Í Х, то множество S = {у½уÎУ, у = f(х), х Î А}, т.е. множество всех тех у, в каждый из которых

при отображении f отображается хотя бы один элемент из подмножества А множества Х, называется образом подмножества А и обозначается S = f(А). В частности, всегда Уf = f(X). Для образов множеств А Х и В Х справедливы следующие соотношения:

f(АÈВ) = f(А)Èf(B),

f(АÇВ) Í f(А)Çf(B),

f(А)\f(В) Í f(А\В),

и если АÍВ, то f(А)Íf(В).

Если f:Х ® У и SÍУ, то множество А = {х½хÎХ, f(х)ÎS}

называется прообразом множества S и обозначается А=f -1(S). Таким образом, прообраз множества S состоит из всех тех элементов хÎХ, которые при отображении f отображаются в элементы из S, или, что то же самое, которое состоит из всех прообразов элементов уÎS, т.е. f -1(S) = f- -1(у). Для прообразов множеств SÍУ и ТÍУ справедливы соотношения:

f -1(S È Т) = f -1(S) È f -1(Т)

f -1(S Ç Т) = f -1(S) Ç f -1(Т)

f -1(S \ Т) = f -1(S) \ f -1(Т),

а если SÍТ, то f -1(S) Í f -1(Т).

Если АÍХ, то функция f:Х ® У естественным образом порождает функцию, определенную на множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу хÎА элемент f(х). Эта функция называется сужением функции f на множестве А и иногда обозначается fА. Таким образом, fА: А®У и для любого хÎА имеет место fА: хf(х). Если множество А не совпадает со множеством Х, то сужение fА функции f на множестве А имеет другую область определения, чем функция f, и, следовательно, является другой, чем f, функцией.

Композиция функций

Пусть f:Х®У и g:У®Z – функции. Функция F:X®Z, определенная для каждого хÎХ формулой F(x)=g(f(x)) называется композицией (суперпозицией) функций f и g, или сложной функцией, и обозначается .

Композицию функций можно проиллюстрировать следующим образом:

Пример. Пусть Х= {a; b; c; d; e}, У= {a; b; g; d}, Z= {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Пусть f:Х ®У и g:У®Z – функции, определенные соответственно так:

f(a) = b, f(b) = a, f(c) = f(d) = f(e) = d;

g(a) = 3, g(b) = g(d) = 5, g(g) = 1.

Тогда композиция функций : Х®Z будет: а5, b3, с5, d5, e5.

Заметим, что множество значений композиции является подмножеством множества значений функции g, т.е. имеет место

Теорема 2. Пусть ¦:Х®У и g:У®Z. Тогда () (Х) Í g (У) или Í.

Доказательство. Пусть z Î (g f) (X), тогда существует хÎХ такой, что

()(х) = g(f(x)) = z. Пусть у=¦(х)ÎУ, тогда g(y) =z, поэтому zÎg(Y) и теорема доказана.

Теорема 3. Пусть даны две функции f:Х®У и g:У®Z. Тогда если f и g обе инъективны, то композиция также инъективна, а если f и g обе сюръективны, то и композиция также сюръективна.

Доказательство. Пусть f и g – инъективны. Пусть х¢, х¢¢ÎХ, у¢=f(x¢), у¢¢=f(x¢¢). Тогда из равенства ()(х¢) = () (х¢¢) следует, что g(f(x¢)) = g(f(x¢¢)) или g(y¢) = g(у¢¢)Þ у¢ = у¢¢ (так как g инъективна) Þ f(x¢) = f(x¢¢) (так как у¢ = f(x¢), у¢¢ = f(x¢¢) Þ х¢ = х¢¢ (так как f инъективна), следовательно – инъективна.

Пусть f и g сюръективны и z Î Z. Так как g сюръективна, то существует у Î У такой, что g(y) = z, и так как f сюръективна, то существует х Î Х такой, что f(x) = у.

Следовательно, существует х Î Х такой, что () (х) = g(f(x)) = g(y) = z, поэтому сюръективна.

Можно показать, что обратное утверждение не имеет места, то есть если композиция инъективна (сюръективна), то отсюда не следует, что f и g с неизбежностью являются инъективными (сюръективными). Для этого приведем следующий пример:

Пусть

Х= {х1; х2}, У={ у1; у2; у3}, Z = {z1; z2} и определим f:Х®У,

f(х1) = у1, f(х2) = у2;

g:У®Z, g(у1) = Z1, g(у2) = g(у3) = Z2:

 Скачать реферат