Кривые на плоскости

· Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль

· Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства:

Гравитационное свойство лемнискаты

· Кривая является геометрически

м местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных.

· Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиус-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.

· Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.

· Площадь полярного сектора , при :

o В частности, площадь каждой петли , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной .

· Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.

· Длина дуги лемнискаты между точками и выражается эллиптическим интегралом рода:

·

где

o В частности, длина всей лемнискаты

Приложение

В геометрии, синусоидальная спираль — семейство кривых, определяемое уравнением в полярной системе координат:

rn = ancos(nθ),

где a — ненулевая константа и n — рациональное число, не равное нулю. С учетом возможности поворота кривой относительно начала координат уравнение также может быть записано в виде:

rn = ansin(nθ)

Использование термина «спираль» в данном случае не является точным, т. к. получаемые кривые по форме скорее напоминают цветок. Многие известные кривые являются частными случаями синусоидальной спирали:

· Прямая (n = −1)

· Окружность (n = 1)

· Гипербола (n = −2)

· Парабола (n = −1/2)

· Кардиоида (n = 1/2)

· Лемниската Бернулли (n = 2)

Впервые была изучена Маклореном.

 Скачать реферат