Кривые на плоскости

Рефераты / Математика / Кривые на плоскости

Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

· Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

$\begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases}$ , где $p^2=\operatorname{t<p>g}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big)$

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от $-\infty$ до $+\infty$ . При этом, когда параметр стремится к $-\infty$ , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к $+\infty$ , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Свойства

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c, синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства от овала Кассини

· Лемниската — кривая четвёртого порядка.

· Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.

· Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

$\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm\frac{c}{2}\end{cases}$

· Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.

· Лемнискату описывает окружность радиуса $\textstyle a=c\sqrt{2}$ , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства от синусоидальной спирали

· Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

· Касательные в двойной точке составляют с отрезком F1F2 углы $\textstyle\pm\frac{\pi}{4}$ .

· Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен $\textstyle 2\varphi+\frac{\pi}{2}$ .

· Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.

· Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.

· Радиус кривизны лемнискаты есть $\textstyle R=\frac{2c^2}{3\rho}$

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:

$R=\frac{\rho}{(m+1)\cos m\varphi}$ при m = 2,

однако, легко вывести и по определению.

Уравнение лемнискаты в полярной системе:

$\rho^2=2c^2\cos{2\varphi}$

Формулы перехода к полярной системе координат:

$\begin{cases}x=\rho\cos{\varphi} \\ y=\rho\sin{\varphi}\end{cases}$

Выражаем $\textstyle\rho$ :

$\begin{cases}\rho=\frac{x}{\cos{\varphi}} \\ \rho=\frac{y}{\sin{\varphi}}\end{cases}$

Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем x и y:

$\begin{cases}\frac{x^2}{cos^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi} \\ \frac{y^2}{sin^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi}\end{cases}= \begin{cases}x=c\sqrt{2}\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}} \\ y=c\sqrt{2}\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}\end{cases}$

это параметрическое уравнение относительно $\varphi$ . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно $\textstyle p$ , указанное выше в разделе Уравнения.

Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:

$R=\frac{\Big((x')^2+(y')^2\Big)^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}$

Находим производные по $\varphi$ :

$x'=c\sqrt{2}\left ( -\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}-\cos{\varphi}\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\right )=-c\sqrt{2}\frac{\sin{3\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}$

$x''=-c\sqrt{2}\frac{3\cos{3\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}+\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\sin{3\varphi}}{\cos{2\varphi}}=\ldots=-c\sqrt{2}\frac{2\cos{\varphi}+\cos{5\varphi}}{(\cos{2\varphi})^{3/2}}$

$y'=c\sqrt{2}\left ( -\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}-\sin{\varphi}\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\right )=c\sqrt{2}\frac{\cos{3\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}$

$y''=c\sqrt{2}\frac{-3\sin{3\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}+\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\cos{3\varphi}}{\cos{2\varphi}}=\ldots=-c\sqrt{2}\frac{2\sin{\varphi}+\sin{5\varphi}}{(\cos{2\varphi})^{3/2}}$