Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

Оглавление

Введение. 3

1. Историческая справка. 6

2. Условия существования определенного интеграла. 10

3. Приложение интегрального исчисления. 11

3.1 Общие понятия. 11

3.2 Интегральное исчисление в геометрии. 13

3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой 13

3.2.2 Вычисление объема тела. 16

3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения. 18

3.2.4.

Вычисление площадей плоских фигур……………………………………….20

3.3 Механические приложение определенного интеграла. 23

3.3.1 Работа переменной силы 23

3.3.2 Путь, пройденный телом 24

3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку 25

3.3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой 26

3.3.5Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры 28

3.4 Интегральное исчисление в биологии. 31

3.4.1 Численность популяции. 31

3.4.2 . Биомасса популяции………………………………………………………………32

3.4.3 Средняя длина пролета. 33

3.5 Интегральное исчисление в экономике. 35

Заключение. 39

Литература. 40

Введение

Нахождение производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или F(x)=F’(x)dx=f(x)dx Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.

Задача о нахождении площади

Определить площадь P криволинейной трапеции ABCD (рис 1)

Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, со­ответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок. Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым пря­моугольником, основание кото­рого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некото­рой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоуголь­ников.

Обозначим абсциссы точек деления через

X= a < X< X< … < X< X< … < X = b.

Основание i – го прямоугольника равно разности X- X(ΔX). Высота равна y= f (X). Поэтому площадь i – го прямоугольника будет yΔX= f (X) ΔX.

Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади P криволинейной трапеции

P=yΔX или P=f (X) ΔX.

Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех ΔXстремится к нулю. Точное значение площади P получится как предел:

P=LimyΔX или P=Limf (X) ΔX,

В предположении, что все ΔXодновременно стремятся к 0.

Для обозначения пре­дельного значения суммы y ΔX Лейбниц и ввел символ ∫ ydx, где ydx напоминает типичное слагаемое суммы, а ∫ есть сти­лизованная буква S - начальная буква латинского слова “Summa”. Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ со­хранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать

∫ f(x)dx,

если речь идет о переменной площади, и

f(x)dx,

- в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей из­менению х от а до b.

Определение. Пусть функция f (X) задана в некотором про­межутке [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ΔX= X- X(i = 0, 1,2, . ,n-1) обозна­чим через λ.

Возьмем в каждом из частичных промежутков [X, X] по про­изволу точку X = ξ

X≤ ξ≤ X(i = 0, 1, … , n-1)

и составим сумму

 Скачать реферат