Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками X= a, X, … , X= b (X≤ X≤

; … ≤ X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M= A, M, … , M= B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, … , MM, длины которых обозначим соответственно через ΔL, ΔL, … , ΔL.

Получим ломанную MMM… MM, длина которой равна L= ΔL+ ΔL+ … + ΔL= ΔL.

2. Длину хорды (или звена ломанной) ΔLможно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔXи ΔY:

ΔL= , где ΔX= X- X, ΔY= f(X) – f(X).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY= (C) ΔX, где C(X, X). Поэтому

ΔL= = ,

а длина всей ломанной MMM… MMравна

L= ΔL= .

Длина кривой AB, по определению, равна L = L= ΔL. Заметим, что при ΔL0 также и ΔX 0 (ΔL= и следовательно | ΔX| < ΔL). Функция непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f(X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L= ΔL= , кода max ΔX 0:

L = = dx.

 Скачать реферат