Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши , одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале 20 столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

2. Условия существования определенного интеграла

1. Интегрируемая функция необходимо ограничена.

Если бы функция f(x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то – при любом разбиении промежутка на части – она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки можно было бы сделать f(), а с ней и сумму , - сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для существовать не могло бы.

2.Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было

(S - s) = 0

s = mΔX, S = MΔX,

где mи M- точные нижняя и верхняя грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.[7]

3. Приложение интегрального исчисления

3.1 Общие понятия

Пусть требуется найти значение какой – либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка [a, b] точкой с (a, b) на части [a, c] и [c, b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a, b] равно сумме ее значений, соответствующих [a, c] и [c, b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).[5]

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками x= a, x, … ,x= b разбить отрезок [a, b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьется на n “элементарных слагаемых”

Δ A(I = 1, … , n): A = ΔA+ ΔA+ … + ΔA

2. Представить каждое “элементарное слагаемое” в виде произве­дения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычислен­ной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

Δ A≈ f(c) ΔX

При нахождении приближенного значения ДЛ; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

A≈ f(c) ΔX+ … + F(c)ΔX= f(c) ΔX

1. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

A = f(c) ΔX= f(x)dx.

Указанный “метод сумм”, как видим, основан на представлении интегра­ла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физическо­го смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется “метод дифференциала” или “метод отбрасывания беско­нечно малых высших порядков”:

1) на отрезке [а, b] выбираем произвольное значение х и рассматри­ваем переменный отрезок [a, x]. На этом отрезке величина A становится функцией x: А — А(x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(x), где x т.е. [а, b] - один из параметров величи­ны А;

2) находим главную часть приращения ΔA при изменении x на малую величину Δx; = dх, т. е. находим дифференциал dA функции A = А(x):dA - f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция пере­менной x (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что dА ≈ ΔA при Δx0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:

A(b) = A = f(x)dx.

3.2 Интегральное исчисление в геометрии

3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ≤ x ≤ b. (рис 2)[7]

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

 Скачать реферат