Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

Статическим моментом SХ системы материальных точек относи­тельно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):

Аналогично определяется статистический момент Sэтой системы относительно оси Oy: S

= .

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кри­вой, то для выражения статического момента понадобится интегрирова­ние.

Пусть у =f/(х) (a ≤ х ≤ b) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью (= const).

Для произвольного х [а;b] на кривой АВ найдется точка с коорди­натами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содер­жащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dS(“элементарный момент”) будет равен , т.е. .

Отсюда следует, что статический момент SХ кри­вой АВ относительно оси Ох равен

Аналогично находим S:

Статические моменты SХ и SУ кривой позволя­ют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х 6 [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен ста­тическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обо­значим через С(хс;ус) центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства и или и . Отсюда ,

или

Пример. Найти центр тяжести однородной дуги окружности x+ y= R2, расположенной в первой координатной четверти (рис 16).[5]

.

Стало быть,

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то хс = ус =Итак, центр тяжести имеет координаты (;).

3.3.5 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченн кривой у = f(х) ≥ 0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис 17).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна (= const). Тогда масса всей пластинки равна т. е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна . Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка отстоит от оси Ох на ½y, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ½Δx ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения

и

Следовательно,

,

По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(x;y), что .

Отсюда

и

или

x,.

 Скачать реферат