Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

Пример. Найдем координаты центра тяжести полукруга (= const) (рис 18).

Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что . Площадь полукруга равна .Находим Sx:

Стало быть,

Итак, центр тяжести имеет координаты С(0;)

3.4 Интегральное исчисление в биологии

3.4.1 Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су­ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини­цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, уста­новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по­пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша­тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень­шаясь или увеличиваясь.[1]

Если известна скорость роста популяции v t/), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функ­ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз­ной для v (t). Поэтому

N(t) – N(t) = .

Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания

скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае. Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:

N(t) = N(t) + a= N(t) + e= N(t) + (e- e)

По формуле, подобной N(t) = N(t) + a= N(t) + e= N(t) + (e- e)

, подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.[1]

3.4.2.1 Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени, а N () — число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P () — средняя масса особи возраста , а М () — био­масса всех особей в возрасте от 0 до .[1]

Заметив, что произведение N() P () равно биомассе всех осо­бей возраста , рассмотрим разность

M(+ Δ) – M(),

где Δ>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо­бей в возрасте от до + Δ, удовлетворяет неравенствам:

N () Р ()Δ≤ M (+ Δ) – M () ≤ N()P()Δ,

где N () Р () — наименьшее, а - N()P() — наибольшее значения функции N () Р () на отрезке [,+ Δ]. Учитывая, что Δ>0, из неравенств N () Р ()Δ≤ M (+ Δ) – M () ≤ N()P()Δ,

 Скачать реферат