Нестандартные задачи по математике

1. Инварианты

Инвариантом некоторого преобразования или системы действий называется величина (или свойство), остающаяся постоянной при этом преобразовании.

Нередко встречаются задачи, в которых спрашивается, можно ли в результате некоторых действий получить тот или иной результат. Основным методом решения подобных задач является нахожде

ние свойства исходного объекта, которое не меняется после выполнения таких действий, - это и есть инвариант. Если конечный объект задачи не обладает найденным свойством, то он, очевидно, не может быть получен в результате этих действий из исходного объекта.

Полуинвариант - величина, изменяющаяся только в одну сторону (т.е. которая может только увеличиваться или только уменьшаться). Понятие полуинварианта часто используется при доказательствах остановки процессов.

1. Имеется квадратная таблица 10х10, в клетки которой в последовательном порядке вписаны натуральные числа от 1 до 100: в первую строку - числа от 1 до 10, во вторую - от 11 до 20 и т. д. Докажите, что сумма S любых 10 чисел таблицы, из которых никакие два не стоят в одной строке и никакие два не стоят в одном столбце, постоянна. Найдите эту сумму.

Решение.

Обозначим слагаемое исходной суммы S из первой строки через а1 , из второй - через 10 + а2, из третьей – через 20 + а3 и т. д., наконец, из десятой – через 90 + а10.

Здесь каждое из натуральных чисел а1, а2, …,а10 заключено в пределах от 1 до 10 , причем эти числа попарно различны, так как, если бы, например, а1 = а2 , то числа а1 и 10 + а2 стояли бы в одном столбце таблицы. Получаем:

S = а1 + ( 10 + а2 ) +( 20 + а3 ) + …+ ( 90 +а10 ) =

= ( 10 + 20 +…+ 90 ) + ( а1 + а2 +…+ а10 ) =

= 450 + (а1 + а2 +…+ а10 ).

Поскольку числа а1, а2,…, а10 попарно различны и принимают все целые значения от 1 до 10 , то каждое из натуральных чисел от 1 до 10 входит в сумму а1 + а2 +…+ а10 в качестве слагаемого ровно один раз. Следовательно,

а1 + а2 +…+ а10 = 1 + 2 +3 +… + 10 = 55,

S = 450 + 55 = 505.

Сумма S и является инвариантом : если в ней одни слагаемые заменить другими, но так, чтобы все слагаемые новой суммы стояли в таблице в разных строках и в разных столбцах, сумма примет, тоже самое значение.

Ответ : 505.

2. На каждой клетке шахматной доски 8х8 написали произ-ведение номера строки, в которой расположена клетка, на номер ее столбца. Выбрали 8 клеток, из которых никакие две не стоят в одной строке и никакие две не стоят в одном столбце. Докажите, что произведение чисел, написанных в этих клетках, постоянно, и вычислите его .

3. Лист бумаги разорвали на 5 кусков, некоторые из этих кусков разорвали на 5 частей, а некоторые из этих новых частей разорвали еще на 5 частей и т. д. Можно ли таким путем получить 1994 куска бумаги ? А 1997 ?

Решение.

При каждом разрывании листа или одного куска бумаги на 5 частей общее число кусков увеличивается на 4 . Поэтому число кусков бумаги на каждом шаге может иметь только вид 4k + 1 (k-

натуральное число ). Это выражение и является инвариантом.

Так как 1994 нельзя представить в виде 4k + 1 , то число кусков, равное 1994 , получиться не может, а 1997 = 4k + 1 при k = = 499 ,следовательно, 1997 кусков получиться могут.

4. Имеется два листа картона. Каждый из них разрезали на 4 куска, некоторые из этих кусков разрезали еще на 4 куска и т. д. Можно ли таким путем получить 50 кусков картона? А 60 ?

5. Каждое натуральное число от 1 до 50000 заменяют числом равным сумме его цифр. С получившимися цифрами проделывают ту же операцию, и так поступают до тех пор, пока все числа не станут однозначными. Сколько раз среди этих однозначных чисел встретится каждое из целых чисел от 0 до 8?

Решение.

Указанные однозначные числа в последовательном порядке таковы : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 0,… .

Эта закономерность сохраняется и дальше. В самом деле, при замене натурального числа суммой его цифр остаток от деления числа на 9 остается неизменным, поэтому при переходе от каждого натурального числа к следующему остаток от деления числа на 9 увеличивается на 1 или перескакивает от 8 к 0. Для того чтобы узнать, сколько таких групп цифр по 9 цифр в каждой, разделим 50000 на 9 с остатком : 50000 = 9 5555 + 5.

Следовательно, таких групп 5555 . Еще одну, неполную группу образуют последние 5 цифр : 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ : 1, 2, 3, 4, 5 – по 5556 раз , 6, 7, 8, 0 – 5555 раз .

6.На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 125 . Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них остаток от деления суммы этих чисел на 11 . После 124 таких операций на доске осталось одно число. Какое это число?

7.Первый член последовательности равен 1 , а каждый следующий, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену суммы его цифр. Может ли в этой последовательности встретиться число 765432?

8.Круг разбит на 6 равных секторов, в каждом из которых стоит по одной шашке. Одним ходом разрешается любые две шашки передвинуть в соседние секторы , причем так, чтобы одна шашка двигалась по часовой стрелке, а другая – против. Можно ли за несколько таких ходов собрать все шашки в одном секторе.

9.Круг разбит на 6 равных секторов, в которых расставлены цифры 0, 1, 2, 0, 2, 1 ( в указанном порядке ). Разрешается за один ход одновременно прибавлять одно и то же число к двум стоящим рядом числам. Можно ли за несколько таких ходов добиться того, чтобы все 6 чисел, стоящие в секторах были равны?

Решение.

Пусть на некотором шага в секторах оказались в последовательном порядке числа а1, а2, а3, а4, а5, а6. Составим такую сумму : S = а1 – а2 + а3 – а4 + а5 – а6 .

После каждого хода она не меняется, так как каждая из разновидностей а1 – а2 , а3 – а4 , а5 – а6 при увеличении уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число сохраняет свое значение; следовательно, она является инвариантом . Но в начальном положении S = 0 – 1 + 2 – 0 + 2 – 1 = 2 , а в конечном , когда каждое из шести чисел равно одному и тому же числу , S = 0. Поэтому сделать равными все шесть чисел нельзя.

Ответ : нельзя.

10.В вершинах выпуклого шестиугольника записаны числа 8, 3, 12, 1, 10, 6 (в указанном порядке). За один ход разрешается к4 любым двум числам в соседних вершинах прибавить одно и то же число. Можно ли за несколько таких ходов получить в последовательном порядке шестёрку чисел 5, 2, 14, 6, 13, 4?

11.Даны четыре числа 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается написать четыре новых числа, заменив каждое из исходных чисел средним арифметическим трех других. Докажите, что за несколько таких ходов нельзя получить набор 1, 3, 5, 8.

12.В каждой клетке доски 5 х 5 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки . Докажите , что после этого останется по крайней мере одна пустая клетка .

13. На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с нее два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет еще один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

 Скачать реферат