Нестандартные задачи по математике

( a1 + a2 +…+ ak + b1 + b2 +…+ bn )/ 2

Сумма b1 + b2 +…+ bn четна, так как все ее слагаемые четны.

Тогда для того, чтобы эта дробь была равна целому числу, сумма

a1 + a2 +…+ ak , должна быть четной. Но все слагаемые последней суммы нечетны, поэтому число k слагаемых суммы может быть только четным.

5.10. Докажите, что не существует многогранника, у которого 1997 граней – т

реугольники, а остальные грани – четырехугольники и шестиугольники.

5.11. Окружность разделили на 40 равных дуг и в 40 точках деления поставили по шашке. Среди шашек 25 белых и 15 черных. Докажите, что среди шашек найдутся белая и черная, которые стоят на концах одного диаметра.

Решение.

Допустим, что это не верно. Рассмотрим любую белую шашку и диаметр, на котором она стоит. Тогда по нашему допущению на другом конце этого диаметра должна стоять тоже белая шашка. Получается, что всего белых шашек ( как и черных ) четное число. Но последнее противоречит условию задачи.

5.12. Сумма номеров домов одного квартала равна 99, а соседнего квартала той же улицы – 117. Найдите номера всех домов этих кварталов.

5.13.В некотором натуральном числе произвольно переставили цифры. Докажите, что сумма полученного числа с исходным не может быть равна 999…9 (125 девяток).

Решение.

Обозначим исходное число через а, число, полученное из него после перестановки цифр – через b.

Допустим, что равенство

а + b = 999…9 (125 девяток)

возможно. Тогда при сложении чисел а и b не может быть переноса единицы в следующий разряд. Так как сумма цифр чисел а и b равны, то сумма цифр у числа а + b в два раза больше, чем у числа а, а значит она четна. Но с другой стороны , эта сумма равна 9 125, а следовательно, нечетна. Мы получили противоречие.

5.14. Какое наибольшее количество натуральных чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была четной, а сумма любых четырех соседних чисел – нечетной?

Решение.

Обозначим последовательные натуральные числа строки через а1, а2, а3 и т. д.

По условию суммы

а1 + а2 + а3, а2 + а3 + а4, а3 + а4 + а5, а4 + а5 + а6

и другие четны. Вычитая из каждой суммы, начиная со второй, предыдущую получим, что разности

а4 - а1, а5 - а2, а6 - а3,…

четны, а следовательно, имеют одинаковую четность пары чисел

а4 и а1, а5 и а2, а6 и а3 и т. д.

Выпишем нечетные суммы, состоящие из четырех соседних чисел: а1 + а2 + а3+ а4 = (а1 + а2 + а3)+ а4 ,

а2 + а3 + а4+ а5 = (а2 + а3 + а4)+ а5,

а3 + а4 + а5+ а6 = (а3 + а4 + а5)+ а6,…

Отсюда следует, что числа а4, а5, а6 и т. д. нечетны. Но тогда сумма а4 + а5 + а6 нечетна, а это противоречит условию.

Полученное противоречие возникает всякий раз, когда чисел не меньше шести. Попробуем взять пять чисел .

Рассуждая аналогично , устанавливаем, что числа а4, а5 нечётны, а следовательно , по предыдущему, нечетны и числа а1, а2 .Тогда, так как сумма а1 + а2 + а3 чётна , то число а3 чётно .

Сделаем ещё проверку и убедимся в том, что если взять пять чисел а1, а2, а3, а4, а5 , где число а3 чётно, а остальные нечётны, то каждая из сумм а1 + а2 + а3, а2 + а3 + а4, а3 + а4 + а5 чётна, а каждая из сумм а1 + а2 + а3 + а4 , а2 + а3 + а4 + а5 нечётна.

Ответ: 5.

5.15.Можно ли на клетчатой бумаге, закрасить 25 клеток так, чтобы у каждой из них было: а) четное, б) нечетное число закрашенных соседей? (клетки называются соседями, если у них общая сторона )

Решение.

Предположим, что удалось закрасить 25 клеток требуемым образом. Попробуем найти число общих сторон закрашенных клеток и придем к противоречию. Сосчитаем, сколько у каждой клетки общих сторон с соседями, сложим полученные числа и сумму разделим пополам (так как каждую общую сторону мы считали при этом дважды ). У каждой клетки – нечетное число соседей, и клеток 25. Сумма 25 нечетных чисел нечетна и поэтому нацело на 2 не делится.

Ответ: а) можно, б) нельзя.

Такое же рассуждение показывает, что при любом нечетном n, закрасить n клеток так, чтобы у каждой было нечетное число закрашенных соседей, невозможно. В случае любого четного n такая раскраска возможна.

5.16. Существует ли замкнутая ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз и состоит из: а) 6 звеньев, б) 7 звеньев ?

Простые и составные числа

Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух различных делителей.

Принято считать, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Отсюда следует, что множество натуральных чисел можно разбить на такие три подмножества: множество простых чисел, множество составных чисел и множество содержащее единственный элемент 1.

Справедлива следующая теорема.

Любое натуральное число, большее 1, можно и притом единственным образом представить в виде произведения простых чисел.

Это предложение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.

Среди простых делителей натурального числа могут быть равные, и их произведение можно записать в виде степени. Тогда разложение натурального числа а на простые множители можно представить в следующем виде:

a = p1 k1 p2 k2 … pnkn ,

где p1, p2,…, pn - различные простые числа, k1, k2,…, kn – натуральные.

Задачи

5.17.К двузначному числу приписали такое же число. Может ли полученное число быть простым?

5.18. К числу, являющемуся произведением двух последовательных натуральных чисел, приписали справа число 21. Докажите, что полученное число – составное.

5.19. Натуральные числа a и b таковы, что 31a = 54b. Докажите, что число a + b – составное.

Решение.

Так как число 31а делится на 54 и числа 31 и 54 – взаимно простые, то а делится на 54: a = 54n; где nÎN. Тогда

31 54 n = 54b, b = 31n.

Отсюда a + b = 54n + 31n = 85n, а следовательно, число a + b является составным.

5.20. Натуральные числа a и b удовлетворяют условию 15a = 32b. Может ли число a – b быть простым? Если может – постройте пример; если не может – докажите.

5.21. Назовите все натуральные n, при которых число n4 + 4 –составное.

Решение.

Попробуем разложить выражение n4 + 4 на множители с целыми коэффициентами. Мы привыкли к тому, что сумма квадратов на множители с целыми коэффициентами не раскладывается. В данном случае это делается с помощью приема «плюс – минус» следующим образом:

n4 + 4 = (n4 + 4 + 4n2) - 4n2 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 + 2n + 2)( n2 - 2n + 2).

Очевидно, множитель n2 + 2n + 2 всегда больше 1. Второй множитель n2 - 2n + 2 может быть равным 1:

n2 - 2n + 2 = 1, n2 - 2n + 1 = 0, (n – 1)2 = 0, n = 1.

Так как при n = 1 множитель n2 + 2n + 2 принимает значение 5, являющееся простым числом, то значение n = 1 нужно отбросить.

Ответ: все n не равные 1.

5.22. Докажите, что любое число вида а = 101010…101 (n нулей, n + +1 единица, где n > 1) – составное.

 Скачать реферат