Размерность конечных упорядоченных множеств

Введение

Теория множеств служит фундаментом современной математики.

Порядковая структура входит в список основных (ещё алгебраическая и топологическая) математических структур, которые изучает теоретико-множественная математика.

При написании этой дипломной работы мы задавались целью – изучить порядковую структуру и элементы алгебраической теории решёток, сф

ормировать углублённое представление о размерности упорядоченных множеств, познакомиться со свойствами размерности конечных упорядоченных множеств, сформулировать новые свойства и доказать их.

Язык упорядоченных множеств и решёток широко применяется в математике (алгебра, логика, теория множеств, общая топология, графы) и является основой одного из важнейших типов математического мышления.

Дипломная работа состоит из трёх параграфов: «Основные понятия», «Определение размерности упорядоченных множеств», «Свойства размерности конечных упорядоченных множеств».

В первом параграфе определяются основные понятия, с которыми нужно ознакомиться для дальнейшей работы и устанавливаются связи между ними. Большое число примеров позволяет достаточно глубоко понять суть рассматриваемых понятий.

Во втором параграфе рассматриваются только конечные множества. И особое внимание уделяется на линейный и нелинейный порядок. Формулируется и доказывается теорема об их связи. На основе этого появляется понятие размерности.

В третьем параграфе указаны 6 основных свойств размерности конечных упорядоченных множеств и приведены их доказательства. Некоторые из них оформлены в виде теорем.

§1.Основные понятия

Упорядоченным множеством называется пара <A, ≤ >, где А – непустое множество, а ≤ - бинарное отношение на А, называемое отношением порядка, которое (для " a,b,cÎA)

1. рефлексивно: а£а

2. транзитивно: а£в и в£с Þ а£с

3. антисимметрично: а£в и в£а Þ а=в

Основными примерами упорядоченных множеств являются:

· <R, ≤ > -множество всех действительных чисел с обычным отношением порядка и непустое подмножество;

· <B(X), Í > - множество всех подмножеств данного множества X с отношением включения и непустое подмножество;

· <N, / > - множество всех натуральных чисел с отношением делит и непустое подмножество;

· множество всех лучей, лежащих на одной прямой, и отношением включения.

Пусть А – упорядоченное множество с отношением порядка £. Элементы а, в Î А называются сравнимыми, если а £ в или в £ а.

Упорядоченное множество А, в котором любые 2 элемента сравнимы, называется цепью, а соответствующий порядок £ - линейным.

Если в упорядоченном множестве А любые два различных элемента несравнимы, то множество А называется антицепью.

Элемент аÎА называется наибольшим, если x £ а для" xÎА. Понятие наименьшего элемента определяется аналогичным образом. Если наибольший и наименьший элементы существуют, то они единственны. Наибольший элемент обычно обозначают – 1, а наименьший – 0.

Элемент множества А будет называться максимальным, если в А нет элементов больших его. Аналогичным образом определяется понятие минимального элемента.

Упорядоченное множество называется конечным, если конечно множество его элементов. Конечное упорядоченное множество <A, ≤ > удобно изображать в виде графа, который можно построить следующим образом:

Ø элементы множества А изображаются точками;

Ø точки а и в соединяются ребром – идущим вверх отрезком, не обязательно вертикальным, если а<в и между ними нет других элементов из А;

Ø при этом все минимальные элементы А располагаются на одной горизонтали и образуют – первый уровень;

Ø выше находятся минимальные элементы множества А, из которого удалены точки первого уровня, они образуют второй уровень;

Ø еще выше идет третий уровень, состоящий из минимальных элементов множества, полученного удалением из А элементов второго и первого уровней, и т.д.

Заметим, что если а<в, то из точки а по ребрам, двигаясь вверх, можно добраться до точки в. Полученный граф назовем стандартным графом (диаграммой Хассе) упорядоченного множества А. Изоморфные упорядоченные множества имеют одинаковые стандартные графы, а неизоморфные – различные.

Приведем графы упорядоченных 4-х элементных множеств.

Следует обратить внимание на то, что из любой точки стандартного графа конечного упорядоченного множества можно по рёбрам спуститься на первый уровень, побывав на всех промежуточных уровнях. Т.е. среди стандартных графов не может быть такого, например, графа:

А должен быть такой

Длиной конечного упорядоченного множества А будем называть наибольшее из чисел элементов цепей А. Видно, что длина А равна числу уровней его стандартного графа.

Шириной А называется наибольшее из чисел элементов антицепей в А. Ширина А будет не меньше числа элементов любого уровня этого графа.

Замечание: число элементов любого конечного упорядоченного множества не превосходит произведения его длины на ширину.

Пусть В – непустое подмножество упорядоченного множества А. Элемент аÎА называется верхней гранью для В, если в£а для всех вÎВ. Точной верхней гранью В называется наименьший элемент множества всех верхних граней В в А, его обозначают supB. Точная нижняя грань определяется аналогичным образом и обозначается infB.

Упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное множество обладает тачной верхней и точной нижней гранью называется решёткой.

Любая конечная решётка обладает наибольшим и наименьшим элементами. Среди графов 5-ти элементных множеств, только пять решёток.

В нашей дипломной работе пойдёт речь ещё и прямом произведении конечных упорядоченных множествах. Поэтому объясним, что это такое.

Пусть <A,≤> и <В,≤> - конечные упорядоченные множества с одинаковым порядком, тогда их прямым произведением называется конечное упорядоченное множество , элементы которого – это всевозможные пары, состоящие из двух компонент,1-ая компонента принадлежит множеству А, а вторая – В. Порядок на определяется следующим образом:

 Скачать реферат