Математический анализ

Исходные данные:

Задача 1

Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x0 и y0 служат основой формирования двух векторов x=(x0, x1, …, xn) и y=(y0, y1, …, yn) по рекуррентным формулам:

Вычислить скалярное произведение с := (x, y) по алгоритму:

с := 0; i := 0;

while i < n + 1 do c := c + xi · yi;

и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.

Решение

Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то

x0 = x0(1+δ)

y0 = y0(1+δ)

C0 = x0y0(1+δ)

При i = 2

x2 = x03(1+δ)5

y2 = y0(1+δ)3

C2 = x0y0(1+δ)5 + x02(1+δ)7 + x03y0(1+δ)10

При i = 3

x3 = x04(1+δ)7

y3 = (1+δ)5

C3 = x0y0(1+δ)6 + x02(1+δ)8 + x03y0(1+δ)11 + x04(1+δ)14

При i = 4

x4 = x05(1+δ)9

y4 = y0(1+δ)7

C4 = x0y0(1+δ)7 + x02(1+δ)9 + x03y0(1+δ)12 + x04(1+δ)15 + x05y0(1+δ)18

Выявим закономерность изменения Ci:

При расчете Cn без учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим

Обозначим эту сумму как S1.

Тогда абсолютная погрешность S2

а относительная погрешность

Оценим инструментально относительную и абсолютные погрешности при n = 10

S1 = 0.0923071

S2 = 1.45914·10-6

S3 = 1.58075·10-5

Задача 2

Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5.

Решение

Составим таблицу всех повторных разностей:

Найдем формулу перехода от x к k:

 Скачать реферат