Моделирование геометрического паркета из пятиугольников и шестиугольников

Рефераты / Математика / Моделирование геометрического паркета из пятиугольников и шестиугольников

Оглавление

Введение

§ 1. Моделирование паркета из шестиугольников

§ 2. Моделирование паркета из пятиугольников

Заключение

Литература

Приложения

Введение

Геометрическим паркетом или замощением плоскости, называется покрытие плоскости без пропусков и без перекрытий заданными фигурами.

Один из наиболее важных вопросов теории разбиения плоскости м

ожно сформулировать так: "Какой формы должна быть плитка, чтобы ее копиями можно было заполнить плоскость сплошь без пробелов и двойных покрытий?" Наиболее общий ответ на данный вопрос неизвестен. Частные ответы зависят от условий, налагаемых на форму плиток. Не трудно проверить, что любым треугольником или любым четырехугольником [4] можно вымостить плоскость, в то время как выпуклый многоугольник с пятью или большим числом сторон не всегда позволяет выложить плоскость без пробелов и наложений. Например, невозможно выложить плоскость правильными пятиугольниками, хотя некоторыми пятиугольниками с двумя параллельными сторонами, пятиугольниками с равными сторонами [3] можно вымостить плоскость.

В книге «Математический цветник» [2] рассмотрены различные типы пятиугольников и шестиугольников, которыми можно замостить плоскость, но, к сожалению, в ней нет математической теории для моделирования этих пятиугольников и шестиугольников. Таким образом, актуальной задачей является формализация задачи, построение модели и разработка программы для построения паркетов из данных многоугольников.

Цель работы – разработать новые модели геометрического паркета.

Задачи:

1) выполнить моделирование для новых фундаментальных областей в зависимости от заданных параметров;

2) составить алгоритм построения новых паркетов;

3) разработать программу для построения паркета;

§ 1. Моделирование паркета из шестиугольников

Из - угольников одного типа, где , можно построить паркет при некоторых условиях на стороны и углы. Если окрестность точки замостить тремя многоугольниками без повторения его углов в этой вершине, то сумма углов должна быть равна полному углу, т.е. . При совмещении многоугольников сторонами получаем условие о равенстве некоторых сторон.

К. Рейнхардт (1918 г.), Р.Б. Кершнер (1968 г.), М. Гарднер (1975 г.), Р. Джеймс (1975 г.), Марджори Райс (1976 г.) [2, c. 183], получили ряд условий на пятиугольники и шестиугольники, из которых можно построить геометрический паркет.

В первом разделе впервые выполнено моделирование и составлены алгоритмы построениягеометрических паркетов из неправильных шестиугольников одного типа. Изменяя параметры, можно получить различные паркеты.

Задача. Написать математическую модель для составления программы изображения паркета на экране компьютера, используя шестиугольник, изображенный на рис.1 .

Как было замечено выше, из - угольников одного типа, где , можно построить паркет при некоторых условиях на стороны и углы. Для рассматриваемого шестиугольника определим следующие условия:

Легко проверить, что , поэтому этими углами можно замостить окрестность точки.

Для составления программы изображения паркета из данного шестиугольника на экране компьютера, достаточно рассмотреть два шестиугольникa: ABCDEO и A’B’C’D’E’O’ (рис.2). Шестиугольник A’B’C’D’E’O’ получается из шестиугольника ABCDEO с помощью центральной симметрии относительно середины отрезка ОЕ.

Рассмотрим математическую модель для составления программы изображения паркета на экране компьютера.

Определимся с количеством параметров. Чтобы задать - угольник на плоскости, достаточно задать его вершины в прямоугольной декартовой системе координат, т.е. указать координат.

Таким образом, для задания шестиугольника необходимо 12 параметров.

Введем координатную плоскость таким образом, чтобы начало координат совпадало с точкой О, а сторону ОА совместим с осью , тогда координаты точки О и ордината точки А известны и, следовательно, количество необходимых параметров становится равным , т.е. остается 9 параметров. С учетом параллельности и равенства сторон ОА и DC, необходимыми остаются 7 параметров. Это (рис. 3):