Визуализация численных методов

Введение

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и её производные называют дифференциальным уравнением. Решение дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обычным; в противном случае – уравнен

ие в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В данной работе будут рассматриваться методы решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) её производные при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

Числовое решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y=f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.

Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскивания следующей точки кривой y=f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милны, Адамса – Башфорта и Хемминга.

Явные методы, в которых функция Ф в выражении (1) не зависит от yn+1.

Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

В данной курсовой работе будут рассматриваться два одношаговых метода: метод Эйлера первого порядка точности и Рунге – Кутта четвёртого порядка точности.

1. Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить ОДУ вида y` = 4y/x с заданными начальными значениями x0=1, xk=1.4, y0=2, h=0.05. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения y=x^4с. Требуется решить уравнение двумя методами: Эйлера модифицированного и Рунге – Кутта четвёртого порядка, сравнить результаты и сделать вывод какой метод эффективнее использовать, построить графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

y`=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX (угловой коэффициент (в общей формуле прямой,

y=k*x+b,

обозначается как “k”)(рис 1).

Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши

Существующие решения:

Если правая часть f(x,y) непрерывная в некоторой области R, определяемой неравенствами |x – x0| < a; |y – y0| > b, то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определённое в окрестности |x – x0| < h, где h > 0.

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0,X] – области непрерывного изменения аргумента x множеством wh, состоящего из конечного числа точек x0<x1< .<xn=X – сеткой.

При этом xi называют узлами решётки.

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0,X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1,y2, .,yn – приближённые значения функции в узлах сетки.

1.1 Метод Эйлера

Данный метод, как сказано выше, является одношаговым. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчёта значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y`=f(x,y)

с начальным условием

y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2, .,

xi- узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведём прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα=f(xi,yi) (1)

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда

y i+1=yi+Δy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС

tgα= Δy/h (3).

Приравниваем правые части (1) и (3). Получим

Δy/h= f(xi,yi).

Отсюда

Δy= f(xi,yi)*h.

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:

y i+1=yi+ h*f (xi,yi) (4).

Из формулы (4) видно, что для расчёта каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Рисунок 2. Метод Эйлера

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения ОДУ. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений дляi-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

1.2 Метод Рунге – Кутта

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y`=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2, .,

xi- узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах.

Проведём решение в несколько этапов.

Обозначим точки: A(xi,yi), B(xi+1,yi+1), C, D, E.

Через точку А проведём прямую под углом α, где tg α = f(xi,yi).

На прямой (1) найдём точку С. Через точку С проведём прямую под углом α1, где

tg α1 = f(xi+h/4, yi+h/4*f(xi,yi).

Через точку А проведём прямую параллельную последней прямой.

Найдём точку D на прямой (2) и через неё проведём прямую под углом α2, где

tg α2 = f(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).

Через точку А проведём прямую параллельную последней прямой.

По примеру, описанному выше, построим прямую, которая пересечётся с прямой x = xi+1. Эта точка и будет решением дифференциального уравнения при x = xi+1.

Согласно методу Рунге – Кутта четвёртого порядка, последовательные значения yi искомой функции y определяется по формуле:

y i+1=yi+Δy,

где

Δy=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6, i=0,1,2, .

а числа k1(i),k2(i),k3(i),k4(i) на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1=h*f(xi,yi)

k2 =h*f(xi+h/2,yi+k1/2)

k3=h*f(xi+h/2,yi+k2/2)

k4 =h*f(xi+h,yi+k3)

Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

2. Блок-схемы

 Скачать реферат