Нормированное пространство. Банахово пространство

Содержание

Введение

Основные понятия и определения

1. Линейные пространства

2. Нормированные пространства

3. Банаховы пространства

4. Компактные множества

Введение

В данной работе изучаются такие важные элементы функционального анализа как линейно-нормированные пространства.

Изучение пространств актуально в современном процессе изучения теорий функций и поэ

тому необходимо рассмотреть все основные аспекты теории нормированных пространств.

Цель: изучить структуру построения нормированного пространства, рассмотреть банахово пространство.

Для того чтобы определить роль нормированных пространств, необходимо рассмотреть понятие линейного пространства и что оно собой представляет. На основе линейного пространства можно перейти к изучению нормы, а затем ввести понятие «нормированного пространства», определить, что является его подпространством.

Одной из поставленных задач является: развить понятие Банахова пространства. Для ее решения используется внутренняя логика развития теории нормированных пространств.

Основные понятия и определения

1. Линейные пространства

Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:

I. Для любых двух элементов определен единственный элемент, называемый суммой и обозначаемый, причем

1);

2);

3) в существует такой элемент 0, что для всех;

4) для каждого существует такой элемент, что.

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент, причем

1);

2);

3);

4);

Примеры линейных пространств

1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения.

2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел, удовлетворяющих условию с операциями,

3. Последовательности, сходящиеся к 0, с теми же операциями сложения и умножения, также образуют линейное пространство. Обозначаем его С0.

2. Нормированные пространства

Нормированные пространства объединяют структуры линейных пространств.

Будем рассматривать некоторое линейное пространство.

Полунормой называют функционал p, определённый на и удовлетворяющий следующим аксиомам:

1. (неотрицательность),

2. (аксиома треугольника),

3. для любого числа (абсолютная однородность).

Нормой называют функционал p, удовлетворяющий следующим аксиомам:

1.,

2.,

3. (аксиома треугольника),

4. для любого числа (абсолютная однородность).

Таким образом, норма - это полунорма, на которую наложено дополнительное условие: норма равна нулю только на нулевом элементе.

Определение: Нормированным пространством называют линейное пространство с заданной на нём нормой.

Норму элемента линейного пространства обозначают.

Любое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрику следующим образом

Такую метрику называют метрикой, индуцированной нормой. Это означает, что на нормированные пространства можно перенести все понятия и факты, относящиеся к метрическим пространствам.

В частности, сходимостью по норме называется сходимость в метрике, индуцированной данной нормой.

Непрерывность линейных операций и нормы.

В нормированном пространстве сумма, произведение на число и норма непрерывны: если последовательности {xn} и {yn} сходятся по норме соответственно к x и y: и, а числовая последовательность {an} сходится к пределу a, то

Рассмотрим, сумму двух элементов:

Так как и, то правая часть неравенства сходится к нулю, а значит, к нулю сходится и его левая часть. Непрерывность суммы доказана.

Докажем теперь непрерывность умножения вектора на число. Для этого нам нужно доказать, что числовая последовательность сходится к нулю. Представим разность anxn − ax следующим образом:

Согласно аксиоме треугольника для нормы:

Рассмотрим каждое из слагаемых по отдельности:

Таким образом, мы установили, что непрерывность операции умножения на число доказана.

Наконец, докажем непрерывность нормы. Каждый элемент xn можно представить в виде

xn = (xn − x) + x, по аксиоме треугольника:

или

Аналогично можно доказать, что объединяя два этих неравенства, получим:

По определению сходимости по норме, значит, то есть.

Непрерывность нормы доказана.

Примеры нормированных пространств

1. Вещественная прямая R1 является нормированным пространством, если в качестве нормы взять модуль вещественного числа.

2. В действительном конечномерном пространстве Rn норму можно ввести нескольким способами. Наиболее широко известна Евклидова норма:

Другие возможные нормы:

В комплексном n-мерном пространстве норму можно ввести следующим образом:

3. В пространстве непрерывных на отрезка [a,b] функций C[a,b] норму можно задать формулой

4. Пусть М – пространство ограниченных числовых последовательностей

Х = (х1,х2,…,хп,…), положим:

||x||=sup|xn|.

Подпространства нормированного пространства

Рассматривая линейные пространства (без нормы), мы называли подпространством непустое множество L0 обладающее тем свойством, что если этому множеству принадлежат два элемента x и y пространства L, то любая линейная комбинация этих элементов также принадлежат этому множеству:

Подпространством нормированного пространства мы будем называть только замкнутое подпространства.

Определение: Линейным замыканием системы элементов {xn} или подпространством нормированного пространства, порождённым системой элементов {xn}, называется наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все элементы данной системы.

Произвольную (то есть не обязательно замкнутую) совокупность элементов, содержащую вместе с x и y произвольную их линейную комбинацию ax + by будем называть линейным многообразием.

Система элементов нормированного пространства R называется полной, если её линейное замыкание есть само R.

Фактор-пространства нормированного пространства.

Пусть R — линейное нормированное пространство, а R' — некоторое его подпространство. Рассмотрим фактор пространство

З = R / R'.

Как известно, фактор-пространство является линейным пространством.

В этом пространстве можно ввести норму, положив для данного класса

Докажем, что все аксиомы нормы действительно выполняются.

Так как, то и Нулевым элементом з0 фактор-пространства R / R' является подпространство R'. Так как всякое подпространство должно содержать нулевой элемент, то

Обратно, если, то из непрерывности нормы следует, что в классе з можно указать последовательность элементов, сходящихся к нулевому элементу, но так как в подпространство линейного пространство замкнуто по определению, то замкнуты все классы смежности, а значит

з = R' = з0

Для всякого элемента и числа имеет место равенство

Возьмём слева и справа нижнюю грань по з:

С другой стороны, в силу того, что фактор-пространство является линейным пространством, имеет место равенство

Рассмотрим два класса смежности выберем в каждом классе по представителю

 Скачать реферат