Метод конечных разностей или метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу

(2.24)

(2.25)

,

где , , и непрерывны на [a,b].

Разобьем отрезок [a, b] на nравных частей длины, или шага

.

Точки разбиения

,

называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции и ее производных обозначим соответственно через

.

Введем обозначения

Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:

(2.26)

Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].

Для граничных точек положим

. (2.27)

Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i=1, 2, ., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

(2.28)

Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:

. (2.29)

Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.24), (2.25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):

. (2.30)

Введя обозначения

получим

, (i=0, 1, ., n-2). (2.31)

Краевые условия по-прежнему запишем в виде

. (2.32)

Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно :

. (2.33)

Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде

, (2.34)

где и должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что

 Скачать реферат