Основы математики

Задание № 1

В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд два ряда шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Всего возможно . (это общее количество возможных элементарных исходов испытания). Интересующая нас событие заключается в том, что данная выборка содержит 2 белых ш

ара, подсчитаем число благоприятствующих этому событию вариантов:

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

По формуле полной вероятности имеем:

Задание № 2

Имеется 2 урны: в первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 5 белых и 7 черных. Из наудачу выбранной урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение:

Пусть событие А сводится к тому, что шар достали (из одной из урн). Предположим, что:

1) Н1 = шар достали из урны первой

2) Н2 = шар достали из урны второй

Вероятность того, что шар достали из первой урны Р (Н1) = 1/3, а вероятность того, что шар достали из второй урны Р (Н1) = 1/5. Согласно условию задачи в случае Н1 шар достанут с вероятностью: Р (А/Н1) = 3/7, а в случае Н2 – с вероятностью Р (А/Н2) = 5/12. По формуле полной вероятности имеем:

Р (А) = Р (Н1) * Р (А/Н1) + Р (Н2) * Р (А/Н2),

Задание № 3

Дана вероятность p появления события А в серии из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:

а) равно к раз;

б) не менее к раз;

в) не менее к1 раз и не более к2 раз.

Решение:

В нашем случае р = 0,3, тогда g = 1 – 0,3 = 0,7, n = 6 и к = 3, отсюда вероятность появления события в серии из 6 независимых испытаний:

а) n = 6, к = 3, р = 0,3, тогда g = 0,7. По формуле Бернуле имеем:

=

б) вероятность появления события а не менее 3 раз из независимых испытаний предположим, что событие должно повторяться более 3 раз: Рn (к1;n) = Ф (в) – Ф (а),

Р6 (1; 6) = Ф (3,74) – (+Ф (-0,71)) = 0,6233 + 0,2528 = 0,8761

Так как рассматриваемое событие появляется не менее 3 раз, имеем:

1 – Рn (К1; n) = = 1 - 0,8761 = 0,1449

в) вероятность того, что событие появится в серии из 6 независимых испытаний не менее 1 раза и не более 3 раз можно найти по Формуле Лапласа:

Рn (к1; к2) = Ф (в) – Ф (а),

Р6 (1; 3) = Ф (1,07) – (+Ф (-0,71)) = 0,3103 + 0,2528 = 0,5631

Задание № 4

Таблицей задан закон распределения дискретной случайной, величины Х. Найти математическое ожидание М (х), D (х) и среднее квадратическое отклонение σ (х). Закон распределения.

Решение:

М (х) = -2 * 0.2 + (-1) * 0,5 + 0 * 0,1 + 3 * 0,2 = -0,4 – 0,5 + 0 + 0,6 = 0,5

D (х) = М (х2) – (М (х))2 , найдем х2;

М (х2) = 4 * 0,2 + 1 * 0,5 + 0 * 0,1 + 9 * 0,2 = 0,8 + 0,5 + 0 + 1,8 = 3,1, тогда D (х) = = 3,1 + (0,5)2 = 3,1 – 0,25 = 2,85.

Среднее квадратическое отклонение:

Задание № 5

Дана интегральная функция распределения случайная величина Х. Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание М (х), дисперсия D (х) и среднее квадратическое отклонение σ (х).

Решение:

Среднее квадратическое отклонение равно:

Задание № 6

Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d мм, среднее квадратическое отклонение σ мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше, α мм и меньше β мм; вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ мм.

Решение:

 Скачать реферат