Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

g2=a, b3=a2,

g3= -a2,d=a3, (1.36)

m= -n, p= -an.

Теорема

1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

(2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x3+12ax2-axy+ay2+a2x-a2y+a3=0, (2.2)

-nx+ny-an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y4-11776ay3+5480a2y2-825a3y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

y0=0, y1=a, y2=a, y3=a. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:

x0=0, x1= -a, x2= -a, x3= -a. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

1. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]

Отсюда

(2.7)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

==0.

,

Характеристическими числами для точкисистемы (2.1) будут

.

Корни - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка - седло.

2. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

,

,

то есть

, .

Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка - устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.

3. Исследуем точку .

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:

, .

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .

4. Исследуем точку .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

,

Корни - действительные и одного знака.Следовательно точка - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:

, (2.8)

 Скачать реферат