Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.

Имеем

Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:

(2.9)

Введе

м новое время . Система (2.9) примет вид:

(2.10)

Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.

Получаем

(2.11)

Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем

Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1(0,0) N2(0,).

Исследуем характер точек N1, N2.

1. Исследуем точку N1(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1:

(2.12)

Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

Получим, что

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N1(0,0) - устойчивый узел.

2. Исследуем точку N2(0,).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2(0,)-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.14)

Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:

(2.15)

При z=0, получаем:

(2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем

Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N3(0,0) – устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

Примечание: через с, у+, у- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).

а) (a>0)

б) (a<0)

Рис.1

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N1, w - сепаратрисы – к точке С и N3.

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.

 Скачать реферат