Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Теорема доказана

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 2

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

a3+b3+c3a2b+b2c+c2a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a3+b3+c3=c="images/referats/11801/image042.png">, a2b+b2c+c2a =

А так как последовательности (a2, b2, c2), (a, b , c) одномонотонны, то

.

А это значит, что a3+b3+c3a2b+b2c+c2a.

Что и требовалось доказать.

Упражнение №2.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

и (a, b, c) и () одномонотонные последовательности, то

,

.

Складывая эти неравенства, мы получаем

.

Отделим дроби с одинаковым знаменателем в правой части

.

Вычислив, получаем

.

А это значит, что

Что и требовалось доказать

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а1, а2, …аn) и (b 1, b2,…bn)

Если =a1b1, и =а1b1+а2b2, то =а1b1+а2b2…anbn

Теорема 3. Пусть (а1 а2 … аn), (b1 b2 … bn) – одномонотонные последовательности и ()перестановка чисел b1 b2 … bn. Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность () отличается от (b1 b2 … bn) то найдется пара чисел k, l (1k<ln) такая, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

,

так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Следствие.

Для любого nN верно

.

Доказательство.

Но последовательности (а1 а2 … аn) и () не являются одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3.

Однако эти последовательности противомонотонны: числа в последовательностях расположены в обратном порядке – самому большому по величине соответствует самое маленькое, а самому маленькому соответствует самое большое. А из противомонотонных последовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно все числа второй линии взять со знаком минус. В данном случае одномонотонными являются последовательности

(а1 а2 … аn) и ()

Поэтому

Отсюда и следует искомое неравенство

Следствие

Для любого nN верно

(Неравенство Чебышева).

Доказательство.

В силу теоремы 3 справедливы следующие n неравенства

Значит

В этих неравенствах левая часть не изменяется, а в правой части элементы второй строки меняются циклически.

Складываем все и получаем

Что и требовалось доказать

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

a3+b3+c3+d3a2b+b2c+c2d+d2a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a3+b3+c3+d3=, a2b+b2c+c2d+d2a =.

А так как последовательности

(a2, b2, c 2, d3), (a, b , c, d)

одномонотонны, то

.

А это значит, что a3+b3+c3+d3a2b+b2c+c2d+d2a.

Что и требовалось доказать.

Доказательство этого неравенства с помощью одномонотонных последовательностей я не могу сравнить с другим доказательством, так как доказать другим способом это неравенство я не смогла.

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а1, а2, …аn), (b1, b2,…bn), …(d 1, d 2,…, d n).

 Скачать реферат