Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Если =a1b1, и =а1b1+а2b2, и =а1b1+а2b2…anbn,

то = а1b1…d1+а2b2…d2+ …+anbn…dn

Теорема 4. Рассмотрим одномонотонные последова

тельности (а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …, (d1, d2,…,dn). Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность (a1, а2, …аn), (b'1, b'2,…b'n), …, (d'1, d'2,…,d'n) отличается от (а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …, (d1, d2,…,dn), то найдутся переменные k, l (1k<ln) такие, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) …(dk, dl) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа ,, ak, al … dk, dl мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То

есть

,

так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов n-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Пример

Упражнение 1

Пусть а1, а2, …аn - положительные вещественные числа.

Докажите, что

Это неравенство называется неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Докажем его двумя способами

Доказательство.

Перепишем его в виде:

, введя новые переменные

Имеем

Если сравнить эти два доказательства неравенства, можно заметить, что доказательство с помощью одномонотонных последовательностей гораздо легче в сравнении с доказательством Коши.

неравенство одномонотонный последовательность коши

Заключение

Работая по данной теме, я узнала новый способ доказательства неравенств, вспомнила уже изученные способы доказательства неравенств. Все упражнения в работе я решала сама.

Список использованной литературы

1. Большой справочник школьника. 5 – 11 кл. М. Дрофа, 2001 г.

2. В.В. Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика (повторительный курс). М., Наука. 1976 г.

3. Р.Б. Алексеев, Л.Д. Курлядчик. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств. /Математика в школе. 1991 г. №4

4. Л. Пинтер, Й. Хегедыш. Упорядоченные наборы чисел и неравенства. /Квант. 1985 г. №12.

Размещено на http://www.allbest.ru/

 Скачать реферат