Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению

х —Ю А (х) — Аэс (хо) Дч

получим следующее неравенство:

||F(x-F(хо)-F'c(хо) Дx|| || F'c(xo+иДx) -F'c(x0)|||| Дx|| (10)

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции

f(x) = f(x1,…,xn)

при n 2 из существования производной

при любом фиксированном h = (f1, .,fn) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x) в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.

Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных

(11)

Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабый дифференциал существует и равен 0, поскольку

Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положить h2=h12, то

Однако если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем

А(ч + ер) — А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и

Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения F следует его сильная дифференцируемость.

Теорема 1. Если слабая производная F'c (х) отображения F существует в некоторой окрестности U точки х0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По е>0 найдем д>0 так, чтобы при ||h||< д бвыполнялось неравенство:

|| F'c(xo + h)-F'c(xo) || е

Применив к отображению F формулу (10), получим:

|| F(x0 + h)-F (хо) - F'c (хо) h || ||F'c(xo + иh)- F'c(xo)||

||h|| е||h||

Тем самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производной F'(xо), так и ее совпадение со слабой производной.

Дифференцируемые функционалы

Мы ввели дифференциал отображения F, действующего из одного нормированного пространства X в другое нормированное пространство У. Производная F'(х) такого отображения при каждом х — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности, если У — числовая прямая, то F — принимающая числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционала F в точке х0 есть линейный функционал (зависящий от х0), т. е. элемент пространства X*.

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x) = ||х||2. Тогда

||x + h||2-||x||2 = 2(x, h) + || h ||2;

величина 2(x,h) представляет собой главную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,

F' (x) = F'c(x) = 2х.

Абстрактные функции

Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x), сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. Производная F'(х) абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждом х) элемент пространства У — касательный вектор к кривой F(x). Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной.

Интеграл

Пусть F — абстрактная функция действительного аргумента t со значениями в банаховом пространстве У. Если F задана на отрезке [а, b], то можно определить интеграл функции F по отрезку [а,b]. Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм

,

отвечающих разбиениям

ф = е0Бе1Б ююю Бет = иб олхелбел+1ъб

при условии, что max(tk+1-tk) 0. Интеграл (представляющий, собой, очевидно, элемент из Y) обозначается символом

Рассуждения, в значительной мере аналогичные проводимым для функций, принимающих скалярные значения, показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом он обладает свойствами обычного риманова интеграла.

Производные высших порядков

Пусть F — дифференцируемое отображение, действующее из X в У. Его производная F'(x) при каждом xX есть элемент из о (X, У), т. е. F' есть отображение пространства X в пространство линейных операторов о (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения F и обозначается символом F". Таким образом, F"(x) есть элемент пространства о (Х, о (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в о (X, У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элемент у=В(х, х') У так, что выполнены следующие условия:

1. для любых из X и любых чисел имеют место равенства:

В (x1 + х2, ) =В (,)+В (х2, ),

 Скачать реферат