Геометрический способ сложения сходящихся сил

Вторая форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ox, не перпендикулярную оси Ox, были равны нулю:

Fix = 0; MА (Fi) = 0; MВ (Fi) = 0. (II)

Третья форма уравнений равновесия (уравнения трех моментов):

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

MА (Fi) = 0; MВ (Fi) = 0; MС (Fi) = 0. (III)

Уравнения равновесия в форме (I) считаются основными, так как при их использовании нет никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов.

С использованием понятия бивектора плоской системы сил условия равновесия в форме (I) могут быть сформулированы следующим образом:

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы бивектор этой системы сил был равен нулю: Wc = W (Fi) = 0.

На этом основании развит матричный метод составления уравнений равновесия плоской системы сил, ориентированный на применение компьютерных систем математических вычислений.

Во всех вышеизложенных формах условия равновесия плоской системы сил выражаются тремя уравнениями.

Задачи статики, в которых число скалярных неизвестных (обычно они представляют собой неизвестные реакции связей) равно числу уравнений равновесия, содержащих эти неизвестные, называются статически определимыми. В этом случае и саму конструкцию (одно твердое тело или систему тел) также называют статически определимой.

Задачи же (а также рассматриваемые конструкции), для которых число неизвестных больше числа уравнений равновесия, называют статически неопределимыми. Такие задачи не могут быть решены с использованием только уравнений равновесия.

Таким образом, чтобы задача статики на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил являлась статически определимой, число неизвестных должно быть равно трем.

Рассмотрим теперь частные случаи плоских систем сил, для которых условия равновесия выражаются двумя уравнениями.

Плоская система параллельных сил.

В этом случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, можно для удобства направить ось Ox перпендикулярно силам. Тогда проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и первое из уравнений (I) обратится в тождество.

В результате для плоской системы параллельных сил остаются два уравнения равновесия:

Fiy = 0; MO (Fi) = 0.

Другая форма уравнений для такой системы сил, вытекающая из общих уравнений (II), имеет вид:

MА (Fi) = 0; MВ (Fi) = 0.

При этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной силам.

Плоская система сходящихся сил.

В этом случае, когда линии действия всех сил пересекаются в одной точке, их моменты относительно этой точки равны нулю.

В результате получаем следующие уравнения равновесия:

Fix = 0; Fiy = 0;

то есть для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси Ox и Oy были равны нулю.

Задачи статики на равновесие тела под действием плоской системы параллельных или сходящихся сил будут статически определимыми, если в них содержится только две скалярных неизвестных. Подробное изложение матричного метода составления уравнений равновесия твердого тела под действием плоской системы сил, а также примеры и исходные данные для выполнения индивидуальных заданий, дано в учебном пособии (глава 2):

Пример. Определить реакции шарнирных опор А и В балки, находящейся под действием сосредоточенной силы F = 60 Н, равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q = 15 Н/м и пары сил с моментом М = 40 Н · м; расстояние а = 1 м.

Решение. Введем систему координат Oxy, совместив начало координат О с неподвижным шарниром А и направив осьOx вдоль балки.

Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы: F, пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка. Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей Q, равной по модулю Q = q · 2a = 30 Н и приложенной в средней точке участка ее действия.

На балку наложены две связи: неподвижная шарнирная опора в точке А и подвижная шарнирная опора (каток) в точке В. Отбросим мысленно эти связи, заменив их соответствующими реакциями. Реакция RA неизвестна по величине и направлению, поэтому разложим ее на две неизвестные по величине составляющие XA,YA, направленные по координатным осям. Опора в точке В не препятствует ее перемещению вдоль наклонной плоскости и, следовательно, реакцию RB следует направить перпендикулярно наклонной плоскости, то есть эта реакция известна по направлению, но неизвестна по величине.

Таким образом, в задаче имеется три неизвестных скалярных величины: XA, YA, RB. Поскольку для произвольной плоской системы сил имеется три независимых уравнения равновесия, данная задача является статически определимой. Составим уравнения равновесия балки под действием плоской системы сил, содержащей заданные активные силы и неизвестные реакции связей, в форме (II):

Fix = 0; MА (Fi) = 0; MВ (Fi) = 0.

Эти уравнения равновесия записываются в рассматриваемом примере следующим образом:

Fix = XA - RB sin 30° = 0; (1)

MА (Fi) = - Q · a + F · 2a + M + (RB cos 30°) · 3a = 0; (2)

 Скачать реферат