Анализ надёжности и резервирование технической системы

Вычисление структурных функций

Для рассматриваемой схемы структурная функция S(Z) имеет вид

S(Z) = β1( α(β2( х1 х2)х3β3( х5 х6)) х4 ).

В этом выражении операция β2 предполагает преобразование двух элементов х1,х2 в один эквивалентный структурный элемент (который так и обозначим – β2), β3 состоит также из дв

ух элементов х5, х6 (которые тоже будут преобразованы в один элемент – β3). Операция α предполагает преобразование двух эквивалентных структурных элементов β2,β3 и одного элемента х3. При этом эквивалент α и элемент х4 вместе образуют два параллельно соединенных (в смысле надежности) элемента, которые посредством операции β1 превращаются в один эквивалентный элемент с соответствующей функцией распределения вероятностей состояний.

Вычислим выражения для каждого эквивалента:

β2 = (p1[40]+q1[0])( p2[60]+q2[0]) =

= p1 p2[40+60] + p1 q2[40+0] + q1 p2[0+60] + q1 q2[0+0] =

= 0,9•0,9[100] + 0,9•0,1[40] + 0,1•0,9[60] + 0,1•0,1[0] =

= 0,81[100]+0,09[40] + 0,09[60]+0,01[0]= 1 (проверка).

Т.к. элементы х5 и х6 полностью идентичны элементам х1 и х2, то операция β3:

β3 = 0,81[100] + 0,09[60] +0,09[40]+0,01[0].

α= (0,81[100] + 0,09[60] +0,09[40]+0,01[0])•(0,9[70]+0,1[0]) • (0,81[100]+ +0,09[60] + 0,09[40] +0,01[0]) = (0,81•0,9[min{100;70}]+ 0,81•0,1[min{100;0}] + 0,09•0,9[min{60;70}] + 0,09•0,1[min{60;0}] + 0,09•0,9[min{40;70}] + +0,09•0,1[min{40;0}]+0,01•0,9[min{0;70}] + 0,01•0,1[min{0;0}]) • (0,81[100] + 0,09[60] +0,09[40]+0,01[0]) =

=(0,729[70]+ 0,081[0] + 0,081[60]+0,009[0] + 0,081[40] +0,009[0]+0,009[0] + +0,001[0]) • (0,81[100] + 0,09[60] +0,09[40]+0,01[0])=

=(0,729[70]+0,081[60]+0,081[40]+0,109[0]) • (0,81[100]+0,09[60]+ +0,09[40]+0,01[0]) =0,729•0,81[min{70;100}]+ 0,729•0,09[min{70;60}] + 0,729•0,09[min{70;40}] + 0,729•0,01[min{70;0}] + 0,081•0,81[min{60;100}]+ 0,081•0,09[min{60;60}] + 0,081•0,09[min{60;40}] + 0,081•0,01[min{60;0}]+ 0,081•0,81[min{40;100}]+ 0,081•0,09[min{40;60}] + 0,081•0,09[min{40;40}] + 0,081•0,01[min{40;0}]+ 0,109•0,81[min{0;100}]+ 0,109•0,09[min{0;60}] + 0,109•0,09[min{0;40}] + 0,109•0,01[min{0;0}] =

= 0,59049[70]+ 0,06561[60] + 0,06561[40] + 0,00729[0] + 0,06561[60]+ 0,00729[60] + 0,00729[40] + 0,00081[0]+ 0,06561[40]+ 0,00729[40] + 0,00729[40] + 0,00081[0]+ 0,08829[0]+ 0,00981[0] + 0,00981[0] + 0,00109[0]=

(складываем вероятности при одинаковой пропускной способности)

= 0,59049[70]+0,13851[60]+0,15309[40]+0,11791[0] =1 (проверка).

S(Z) =β1( α х4 ) = (0,59049[70]+0,13851[60]+0,15309[40]+0,11791[0]) •

(0,95[90]+ 0,05[0]) =

= 0,59049•0,95[70+90] + 0,59049•0,05[70+0] + 0,13851•0,95[60+90] + 0,13851•0,05[60+0] + 0,15309•0,95[40+90] + 0,15309•0,05[40+0] + 0,11791•0,95[0+90] + 0,11791•0,05[0+0]=

= 0,56097[160] + 0,02952[70] + 0,13159[150] + 0,00692[60]+ 0,14544[130]+ 0,00765[40] + 0,11202[90] + 0,00589[0] =

(суммируем и упорядочим вероятности по значению пропускной способности)

= 0,56097[160]+ 0,13159[150]+ 0,14544[130] + 0,11202[90]+ 0,02952[70] + +0,00692[60]+ 0,00765[40]+ 0,00589[0]= 1.

Оценка расчетных состояний

Полученная функция S(Z) позволяет построить зависимость показателя надежности объекта (ВБР) от уровня нагрузки - P[Z ≥ Zнk]. Для этого следует просуммировать только те слагаемые функции S(Z), для которых значение нагрузки больше или равно заданной.

Расчеты удобно представить в виде табл. 3. По данным таблицы построен график.

Таблица 3

Зависимость ВБР системы от нагрузки

Рис. 2. Показатели надежности установки в зависимости от нагрузки

Анализ графика в контрольных точках показывает:

· область вблизи номинальной нагрузки, до 70 ед., обеспечена пропускной способностью системы с вероятностью не менее 0,97954;

· максимальная нагрузка равна предельной пропускной способности и вероятность ее обеспечения минимальна.

Обеспечение нормативного уровня надежности установки

Из таблицы 2 следует, что при расчетной нагрузке 70 ед. вероятность безотказной работы установки P[Z ≥ 70] = 0.97954 не соответствует заданному нормативному уровню P норм = 0.98. Следовательно, требуется повышение надежности установки, которое в данном случае может быть обеспечено вводом дополнительных элементов. Следует определить тип элементов (по значению вероятности и пропускной способности), их место на схеме и количество дополнительных - резервных, - элементов. При этом затраты на резервирование должны быть минимальными.

Для усиления этой схемы добавим один резервный элемент параллельно х3. Получившаяся схема с резервированием изображена на рисунке 3.

Рис. 3. Схема с резервированием.

Возьмём в качестве резервного r элемент типа А(70, 0.9, 8), так как его пропускная способность удовлетворяет расчётной.

 Скачать реферат