Анализ и оптимизация цифровой системы связи

Чтобы посчитать вероятность ошибки кодовой комбинации найдем параметры кода. К ним относятся:

n=m+k – длина кодовой комбинации;

m – число информационных символов(разрядов);

k – число проверочных символов (разрядов);

Особую важность для характеристики корректирующих свойств кода имеет минимальное кодовое расстояние dmin, определяемое при попарном сравнении всех кодовых комбинаций

, которое называют расстоянием Хемминга.

В безизбыточном коде все комбинации являются разрешёнными, и, следовательно, его минимальное кодовое расстояние равно единице - dmin = 1. Поэтому достаточно исказиться одному символу, чтобы вместо переданной комбинации была принята другая разрешённая комбинация. Чтобы код обладал корректирующими свойствами, необходимо ввести в него некоторую избыточность, которая обеспечивала бы минимальное расстояние между любыми двумя разрешёнными комбинациями не менее двух - dmin > 2.

Минимальное кодовое расстояние является важнейшей характеристикой помехоустойчивых кодов, указывающей на гарантируемое число обнаруживаемых или исправляемых заданным кодом ошибок.

При применении двоичных кодов учитывают только дискретные искажения, при которых единица переходит в нуль (1 → 0) или нуль переходит в единицу (0 → 1). Переход 1 → 0 или 0 → 1 только в одном элементе кодовой комбинации называют единичной ошибкой (единичным искажением). В общем случае под кратностью ошибки подразумевают число позиций кодовой комбинации, на которых под действием помехи одни символы оказались заменёнными на другие. Возможны двукратные (t = 2) и многократные (t > 2) искажения элементов в кодовой комбинации в пределах 0 < t < n.

Минимальное кодовое расстояние является основным параметром, характеризующим корректирующие способности данного кода. Если код используется только для обнаружения ошибок кратностью t0, то необходимо и достаточно, чтобы минимальное кодовое расстояние было равно

dmin > t0 + 1.(1.29)

В этом случае никакая комбинация из t0 ошибок не может перевести одну разрешённую кодовую комбинацию в другую разрешённую. Таким образом, условие обнаружения всех ошибок кратностью t0 можно записать в виде:

t0 ≤ dmin - 1.(1.30)

Чтобы можно было исправить все ошибки кратностью tи и менее, необходимо иметь минимальное расстояние, удовлетворяющее условию:

.(1.31)

В этом случае любая кодовая комбинация с числом ошибок tи отличается от каждой разрешённой комбинации не менее чем в tи + 1 позициях. Если условие (1.31) не выполнено, возможен случай, когда ошибки кратности t исказят переданную комбинацию так, что она станет ближе к одной из разрешённых комбинаций, чем к переданной или даже перейдёт в другую разрешённую комбинацию. В соответствии с этим, условие исправления всех ошибок кратностью не более tи можно записать в виде:

tи ≤ (dmin - 1) / 2 .(1.32)

Из (1.29) и (1.31) следует, что если код исправляет все ошибки кратностью tи, то число ошибок, которые он может обнаружить, равно t0 = 2∙tи. Следует отметить, что соотношения (1.29) и (1.31) устанавливают лишь гарантированное минимальное число обнаруживаемых или исправляемых ошибок при заданном dmin и не ограничивают возможность обнаружения ошибок большей кратности. Например, простейший код с проверкой на чётность с dmin = 2 позволяет обнаруживать не только одиночные ошибки, но и любое нечётное число ошибок в пределах t0 < n.

Длина кодовой комбинации n должна быть выбрана таким образом, чтобы обеспечить наибольшую пропускную способность канала связи. При использовании корректирующего кода кодовая комбинация содержит n разрядов, из которых m разрядов являются информационными, а k разрядов – проверочными.

Избыточностью корректирующего кода называют величину

,(1.33)

откуда следует

.(1.34)

Эта величина показывает, какую часть общего числа символов кодовой комбинации составляют информационные символы. В теории кодирования величину Bm называют относительной скоростью кода. Если производительность источника информации равна Ht символов в секунду, то скорость передачи после кодирования этой информации окажется равной

,(1.35)

поскольку в закодированной последовательности из каждых n символов только m символов являются информационными.

Если в системе связи используются двоичные сигналы (сигналы типа "1" и "0") и каждый единичный элемент несет не более одного бита информации, то между скоростью передачи информации и скоростью модуляции существует соотношение

,(1.36)

где V - скорость передачи информации, бит/с; B - скорость модуляции, Бод.

Очевидно, что чем меньше k, тем больше отношение m/n приближается к 1, тем меньше отличается V от B, т.е. тем выше пропускная способность системы связи.

Извеcтно также, что для циклических кодов с минимальным кодовым расстоянием dmin = 3 справедливо соотношение

k ³ log2(n+1).(1.37)

Видно, что чем больше n , тем ближе отношение m/n к 1. Так, например, при n = 7, k = 3, m = 4, m/n=0,571; при n = 255, k = 8, m = 247, m/n = 0,964; при n = 1023, k = 10, m = 1013, m/n = 0,990.

Приведенное утверждение справедливо и для больших dmin, хотя точных соотношений для связей между m и n нет. Существуют только верхние и нижние оценки, которые устанавливают связь между максимально возможным минимальным расстоянием корректирующего кода и его избыточностью.

Так, граница Плоткина даёт верхнюю границу кодового расстояния dmin при заданном числе разрядов n в кодовой комбинации и числе информационных разрядов m, и для двоичных кодов:

(1.38)

или

при .(1.39)

Верхняя граница Хемминга устанавливает максимально возможное число разрешённых кодовых комбинаций (2m) любого помехоустойчивого кода при заданных значениях n и dmin:

,(1.40)

где - число сочетаний из n элементов по i элементам.

Отсюда можно получить выражение для оценки числа проверочных символов:

.(1.41)

Для значений (dmin/n) ≤ 0,3 разница между границей Хемминга и границей Плоткина сравнительно невелика.

Граница Варшамова-Гильберта для больших значений n определяет нижнюю границу для числа проверочных разрядов, необходимого для обеспечения заданного кодового расстояния:

.(1.42)

 Скачать реферат