Метод Монте-Карло

Для определения реализуемой доходности портфеля облигаций можно использовать метод Монте-Карло. Первая итерация (случайные числа: 0,91 для кривой доходностей и 0,12 для спреда между доходностями). В этом случае доходности казначейских облигаций со сроком до погашения 5, 15 и 25 лет составят соответственно 10, 8 и 8%, а доходности корпоративных облигаций со сроком до погашения 15 и 25 лет — 9

и 9%.

Тогда цены облигаций (на номинал в 100 долл.) через 6 месяцев определяются следующим образом:

P1 = 6/0,1 (1- 1/ (1+0,05)10)+100/(1+0,05)10 = 84,55653

P2 = 100 (купонная ставка совпадает с доходностью).

P3 = 10,5/0,09 (1 – 1/(1,045)50)+ 100/(1,045)50 = 114,82151

Значит, реализуемая доходность портфеля облигаций составит:

P1 * 5*104+P2*4*104+ P3* 6*104+15 *104+18*104+315*103-15*106=0,1016

15 * 106

Т.е. 10,16%

Предположим, что было проведено 100 итераций. При этом оказалось, что наименьшая реализуемая доходность портфеля равна -3,905%, а наибольшая реализуемая доходность составляет 24,97%.

Разделив отрезок (-3,905%; 24,97%) на достаточно большое число частей, подсчитаем для каждой части число итераций, дающих реализуемую доходность из этой части.

Таким образом, будет построено эмпирическое распределение вероятностей реализуемой доходности портфеля облигаций. После чего можно получить различные числовые характеристики этой реализуемой доходности: среднее значение, стандартное отклонение и т. д.

2. Метод Монте-Карло в условиях управления рыночными рисками.

Метод Монте-Карло, или метод стохастического моделирования (Monte Carlo simulation), основан на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками. В отличие от метода исторического моделирования, в методе Монте-Карло изменения цен активов генерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами распределения, например математическим ожиданием μ и волатильностью σ. Имитируемое распределение может быть, в принципе, любым, а количество сценариев — весьма большим (до нескольких десятков тысяч). Выделяют:

метод Монте-Карло для одного фактора риска;

метод Монте-Карло для портфеля активов.

Рассмотрим Метод Монте-Карло для одного фактора риска. Моделирование траектории цен производится по различным моделям. Например, распространенная модель геометрического броуновского движения дает в итоге следующие выражения для моделирования цен S на каждом шаге процесса, состоящего из очень большого количества шагов, охватывающих период Т:

dSt = St (μdt + σdzt), (1)

, где dzt — винеровский случайный процесс.

Воспользовавшись определением винеровского процесса, уравнение (1) можно записать в дискретной форме:

σσ∆St= St-1 (μ∆t + σε√∆t) , (2)

т. е.

St+1 = St + St (μ∆t + σε1√∆t), (3)

St+1 = St+1 + St+1 (μ∆t + σε2√∆t), (4)

ST = St+n.

Если траектория цен состоит из n равных шагов (например, n дней), то один шаг ∆t = 1/n, а случайная величина ε подчиняется стандартному нормальному распределению (μ = 0, σ = 1). Можно использовать и иные модели эволюции цен, например экспоненциальную.

Траектория цен — это последовательность псевдослучайным образом смоделированных цен, начиная от текущей цены и заканчивая ценой на некотором конечном шаге, например на тысячном или десятитысячном. Чем больше число шагов, тем выше точность метода.

Каждая траектория представляет собой сценарий, по которому определяется цена на последнем шаге исходя из текущей цены. Затем производится полная переоценка портфеля по цене последнего шага и расчет изменения его стоимости для каждого сценария. Оценка VaR производится по распределению изменений стоимости портфеля.

Генерация случайных чисел в методе Монте-Карло состоит из двух шагов. Сначала можно воспользоваться генератором случайных чисел, равномерно распределенных на интервале между 0 и 1 (рассмотрено выше). Затем, используя как аргументы полученные случайные числа, вычисляют значения функций моделируемых распределений.

Однако следует помнить, что генераторы случайных чисел работают на детерминированных алгоритмах и воспроизводят так называемые «псевдослучайные числа», поскольку с некоторого момента последовательности этих псевдослучайных чисел начинают повторяться, т. е. они не являются независимыми. В простейших генераторах это происходит уже через несколько тысяч генераций, а в более сложных— через миллиарды генераций. Если массив случайных чисел начинает повторяться слишком быстро, то метод Монте-Карло перестает моделировать случайные, независимые сценарии и оценка VaR начинает отражать ограниченность генератора, а не свойства портфеля. Оптимальное количество шагов в процессе зависит от объема выборки, состава портфеля и сложности составляющих его инструментов и др.

Рассмотрим пример: элементы расчета VaR методом Монте-Карло на современном российском рынке. Для расчета VaR можно использовать различные модификации метода Монте-Карло; в данном случае метод описывается следующим образом:

По ретроспективным данным рассчитываются оценки математического ожидания х и волатильности σ.

С помощью датчика случайных чисел генерируются нормально распределенные случайные числа ε с математическим ожиданием, равным х, и стандартным отклонением σ.

Полученными на предыдущем шаге случайными числами ε заполняется таблица размерностью 500 столбцов на 1000 строк (вообще говоря, размерность таблицы произвольная и зависит, например, от имеющихся вычислительных мощностей, но, чтобы метод обеспечивал приемлемую точность, она должна быть достаточно большой).

Вычисляется траектория моделируемых цен вплоть до S1000 по формуле St= St-1e εt-1, где е — основание натурального логарифма, St— текущая цена (курс) актива.

Производится переоценка стоимости портфеля (состоящего в данном примере из одного актива) по формуле: ∆V= Q (S1000 – S0), где Q — количество единиц актива.

Шаги 4 и 5 выполняются 500 раз для заполнения таблицы 500 х 1000. Полученные 500 значений ∆V сортируются по убыванию (от самого большого прироста до самого большого убытка). Эти ранжированные изменения можно пронумеровать от 1 до 500. В соответствии с желаемым уровнем доверия (1 - α) риск-менеджер может определить VaR как такой максимальный убыток, который не превышается в 500(1 - α) случаях, т. е. VaR равен абсолютной величине изменения с номером, равным 500(1 - α).

Шаги 1-6 повторяются для каждого расчета каждого дневного VaR.

В качестве объекта исследования был выбран индекс РТС. Генерация случайных чисел производилась при помощи встроенного генератора МS Ехсеl.

Метод Монте-Карло является наиболее технически сложным из всех описанных методов расчета VaR. Кроме того, для выполнения расчетов в полном объеме необходимы значительные вычислительные мощности и временные ресурсы. Современные компьютеры пока еще не позволяют обрабатывать информацию в режиме реального времени, как этого требуют трейдеры, если риск-менеджеры хотят устанавливать VaR-лимиты на величину открытых позиций с помощью метода Монте-Карло.

 Скачать реферат