Теория сравнений

Доказательство. Пусть , где и многочлены с целыми коэффициентами, причем степень меньше чем .

1) Докажем достаточность условия. Пусть коэффициенты делятся на .

Обозначим через и соответственно число решений сравнений

Сравнение по теореме Ферма имеет решений. Каждое из этих решений является решением хотя бы одного из сравнений: (3.22) или (3.23), т.е.

Сравнение (3.23) степени имеет коэффициент при старшем члене, равный единице, так что и, следовательно,

.

Поскольку при этом , получаем , т.е. из делимости коэффициентов на следует, что число решений сравнения (3.22) равно .

2) Докажем необходимость условия. Пусть сравнение (3.22) имеет решений. Если решение сравнения (3.22), то и вместе с тем, поскольку , то , а, следовательно, согласно теореме Ферма, , так что

Таким образом, каждое из решений сравнения (3.22) является решением сравнения , степень которого меньше чем . Следовательно, все коэффициенты делятся на .

Пример 5. Сравнению удовлетворяют классы и . Имеет ли это сравнение еще одно решение?

Делим на , находим:

так что и, следовательно, это сравнение имеет три решения.

3.5 Сравнения по простому модулю с несколькими неизвестными

Некоторые из рассмотренных нами теорем можно легко обобщить на случай сравнений с несколькими неизвестными вида:

где многочлен с целыми коэффициентами, а простое число.

Теорема 1. Если в левой части сравнения (3.24) некоторые из неизвестных встречаются в виде степени с показателем , то сравнение (3.24) можно заменить эквивалентным сравнением, в котором степень каждого из неизвестных не превосходит .

Доказательство. Сравнение (3.24) эквивалентно сравнению

где произвольный многочлен с целыми коэффициентами.

Если среди слагаемых есть член вида

где , то мы можем, взяв

,

заменить его членом , затем и т.д.

Если где , то в показателе для можно отбросить и получить эквивалентное сравнение, в котором слагаемое будет заменено на Проделав такие операции для всех слагаемых по отношению к каждому из неизвестных, входящему с показателем , получим сравнение, эквивалентное первоначальному, в котором степень по отношению к каждому неизвестному будет не больше чем .

Теорема 2. Если сравнение степень которого по каждому неизвестному меньше чем , удовлетворяется при всех целых , то все коэффициенты многочлена делятся на .

 Скачать реферат