Теория сравнений

Если это сравнение не имеет ни одного решения, то число решений меньше чем .

Если же это сравнение имеет решения, то возьмем любое число , удовлетворяющее ему, и разделим на rc="images/referats/3083/image474.png">. Согласно теореме Безу будем иметь:

.

Коэффициенты многочлена -й степени могут быть найдены по схеме Горнера и представляют собой целые числа, причем .

Поскольку удовлетворяет сравнению (3.19), , то все решения (3,19) находятся среди решений сравнений и , удовлетворяя либо одному из них, либо обоим.

Сравнение имеет одно решение, а сравнение представляет собой сравнение () – й степени по простому модулю с коэффициентом при старшем члене , не делящемся на , и, по предположению, может иметь не больше чем решений. Таким образом, сравнение (5) имеет не больше, чем , т.е. не больше чем решений.

Согласно принципу математической индукции справедливость теоремы доказана.

Пример 4. удовлетворяет сравнению Найти все решения этого сравнения.

Очевидно, что вместе с классом этому сравнению удовлетворяет и класс . Коэффициент при старшем члене не делится на простой модуль , поэтому сравнение не может иметь больше двух решений.

Ответ. .

Для составных модулей эта теорема неверна. Сравнение степени по составному модулю с коэффициентом при старшем члене, не делящемся на модуль или даже взаимно простом с модулем, может иметь больше чем решений. Например, сравнение имеет 4 решения: .

Теорема 6.Если сравнение степени по простому модулю имеет больше чем решений, то все коэффициенты сравнения делятся на .

Доказательство. Возьмем любое простое число . Если сравнение имеет больше чем одно решение, то , т.е. . Таким образом, при теорема верна. Предположим, что утверждение теоремы верно для многочленов степени, меньшей чем , т.е. предположим, что число решений сравнения степени, меньшей чем , может превосходить степень сравнения только тогда, когда все коэффициенты делятся на модуль .

Возьмем любое сравнение степени :

имеющее больше чем решений. В таком сравнении делится на , а тогда сравнение

эквивалентное сравнению (3.20), также имеет больше чем решений.

В сравнении (3.21), степень которого меньше чем , а число решений превосходит степень согласно предположению, все коэффициенты должны делиться на , т.е. . Поскольку уже раньше было установлено, что , утверждение теоремы верно для . Согласно принципу математической индукции справедливость теоремы доказана.

Теорема 7.Пусть многочлен с целыми коэффициентами и свободным членом , где простое число, причем . Сравнение имеет решений тогда и только тогда, когда все коэффициенты остатка от деления на кратны .

 Скачать реферат