Элементы линейной алгебры

Глава 1. Элементы линейной алгебры

§ 1. Понятие матрицы. Основные определения

Определение 1. Прямоугольная таблица из m×n действительных чисел вида

называется матрицей типа m×n. Числа аij, входящие в состав данной матрицы, называются ее эл

ементами; первый индекс i – номер строки, второй индекс j –номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Обозначают матрицы большими буквами латинского алфавита А, В, С, … и ограничивают справа и слева либо круглыми скобками , либо двойными вертикальными чертами , либо квадратными скобками .

Употребляются и более краткие обозначения матрицы: , , . Если необходимо указать только размеры матрицы А, то пишут или .

Определение 2. Матрица, у которой m ¹ n, называется прямоугольной.

Например,

.

Определение 3. Матрица, у которой m = n, называется квадратной матрицей n – го порядка.

Например, матрицы (а1), и т. д. являются квадратными матрицами соответственно первого, второго и т. д. порядков.

Определение 4. Матрица размера 1 ´ n называется матрицей – строкой. При записи матрицы – строки первый индекс не пишут:

.

Определение 5. Матрица размера m ´ 1 называется матрицей - столбцом. При записи матрицы – столбца второй индекс не пишут:

.

В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной (дополнительной) диагоналей.

Определение 6. Элементы а11, а22, …, апп (i = j), стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол, т. е.

, образуют главную диагональ матрицы. Элементы а1п, а2п–1, …, ап1, стоящие на диагонали, идущей из правого верхнего угла в левый нижний угол , образуют побочную или дополнительную диагональ.

Определение 7. Если в матрице элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, а по другую отличны от нуля, то матрица называется треугольной. Например,

или

Определение 8. Если в квадратной матрице все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

.

Определение 9. Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то она называется единичной и обозначается Е.

Например,

Определение 10. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль–матрицей.

Единичная матрица и нуль–матрица в линейной алгебре играют ту же роль, что 0 и 1 в арифметике.

Определение 11. Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность и соответствующие элементы этих матриц равны, т. е. А = В, если

А = (аij)m×n, В = (bij)m×n и aij = bij (;).

Определение 12. Пусть А = (аij)m×n. Если заменить в матрице А строки соответственно столбцами, а столбцы строками, то полученная матрица АТ = (аji)n×m называется транспонированной к данной, а процесс ее получения транспонированием.

Пример 1.

Линейные действия над матрицами.

Линейными действиями над матрицами называются сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число.

Действия сложения и вычитания возможны только над матрицами одной и той же размерности.

Определение 13. Суммой (разностью) двух матриц А = (аij)mn и В = (bij)mn называется третья матрица С = (сij)mn, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

С = А ± В = (аij ± bij)mn.

Свойства операции сложения матриц:

А + В = В + А.

А + 0 = А.

(А + В) + С = А + (В + С).

А + (– А) = 0.

(А + В)Т = АТ + ВТ.

Определение 14. Чтобы умножить матрицу на число α ¹ 0, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы А, т. е.

α∙А = (α∙аij)m×n.

Произведение матрицы на число обладает следующими свойствами:

α∙А = А∙α.

α∙(β∙А) = (α∙β)∙А.

(α + β) А = α∙А + β∙А.

α∙(А + В) = α∙А + α∙В.

Умножение матриц.

Определение 15. Произведением матрицы А = (аij)mn на матрицу В = (bjk)np называется такая матрица С = (сik)mp, каждый элемент которой сik равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы k–того столбца матрицы В, т. е.

сik = ai1∙b1k + ai2∙b2k + … + aij∙bjk + … + ain∙bnk.

Из определения следует, что матрица-произведение содержит строк столько, сколько их в матрице А, а столбцов – сколько в матрице В.

Умножение матрицы на матрицу не всегда выполнимо. Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Схематически это можно записать так

.

Произведение двух матриц А и В обозначаются символом А∙В.

Пример 2.

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: А∙В ¹ В∙А.

Действие умножения матриц обладает следующими свойствами:

1. А∙В∙С = (А∙В)∙С = А∙(В∙С).

2. (А + В)∙С = А∙С + В∙С.

3. А∙Е = Е∙А = А.

4. (А∙В)Т = ВТ∙АТ.

Определение 16. Матрицы, для которых выполняется условие А∙В = В∙А, называются перестановочными (коммутативными).

§ 2. Определители второго и третьего порядков

 Скачать реферат