Элементы линейной алгебры

Решение практических задач по теме: "Определители второго и третьего порядков"

Пример 12. Вычислить определитель .

Решение.

или

Пример 13. Найти алгебраическое дополнение элемента а21 определителя третьего порядка

Решение. Элемент а21 образуется вычеркиванием второй строки и первого столбца. Оставшиеся элементы записываются в определитель второго порядка, т. е.

Решение практических задач по теме: "Свойства определителей"

Пример 14. Вычислить определитель, разложив его по элементам какой − либо строки или столбца:

.

Решение. Разложим данный определитель по второму столбцу:

Пример 15. Вычислить определитель , используя свойство 3 и доказать его.

Решение. Так как элементы первого столбца помножены на 2, то, по свойству 3, получаем:

Пример 16. Доказать свойство 4 на примере определителя

.

Решение. В данном определителе третий столбец с нулевыми элементами, следовательно, он равен нулю. Применим формулу Саррюса и докажем что это действительно так.

Пример 17. Вычислить определитель и доказать свойство 5.

Решение. В данном определителе поменяем местами строки один и два и вычислим оба определителя по формуле Саррюса.

Получаем, что свойство 5 справедливо.

Пример 18. Вычислить определитель и доказать свойство 6.

Решение. В данном определителе элементы второй и третьей строк равны. Значит можно воспользоваться свойством 6, т. е. определитель равен нулю. Докажем это применив формулу Саррюса.

Пример 19. Вычислить определитель и доказать свойство 7.

Решение. Сначала вычислим данный определитель по формуле Саррюса.

В определителе представим один из столбцов, например второй, в виде суммы элементов и применим свойство 7, т. е. определитель распишем в виде суммы двух определителей и вычислим их по отдельности.

Следовательно, свойство 7 доказано.

Пример 20. Вычислить определитель и доказать свойство 8.

Решение. Вычислим определитель по формуле Саррюса.

Теперь к элементам второго столбца прибавим элементы первого столбца, помноженные на два, и вычислим полученный определитель.

Следовательно, свойство 8 доказано.

Решение практических задач по теме: "Обратная матрица. Матричные уравнения"

Пример 21. Найти обратную матрицу к матрице

Решение. Вычислим определитель данной матрицы.

Найдем алгебраические дополнения данной матрицы:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

А теперь составим обратную матрицу, подставив найденные значения в формулу (1):

.

Пример 22. Решить матричное уравнение

Решение. Найдем обратную матрицу к матрице .

.

; ;

; ;

.

Теперь перемножим матрицу на обратную матрицу.

.

Проверка:

Решение практических задач по теме: "Системы линейных алгебраических уравнений"

Пример 23. Решить систему алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы:

Запишем систему линейных неоднородных уравнений в виде матричного уравнения.

.

Найдем обратную матрицу к матрице .

Вычислим определитель этой матрицы.

.

Найдем алгебраические дополнения:

 Скачать реферат