Элементы линейной алгебры

Любая квадратная матрица А имеет свой определитель. Прямоугольная, неквадратная матрица определителя не имеет.

Определение 17. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим матрице

,

называется число, обозначаемое

и вычисляет

ся по правилу

.

Определение 18. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим матрице

,

называется число, обозначаемое

и вычисляемое по правилу Саррюса

.

Для того чтобы запомнить формулу вычисления определителя третьего порядка проиллюстрируем правило Саррюса, которое символически можно записать так

или

Определение 19. Любое число будем называть определителем первого порядка.

Определение 20. Минором Мij элемента аij (i-номер строки, j-номер столбца) данного определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i-строки и j-столбца.

Пример 3.

– минор элемента а12 определителя второго порядка;

Пример 4.

– минор элемента а23 определителя третьего порядка.

Определение 21. Алгебраическим дополнением элемента аij данного определителя называется число Аij=(– 1)i+j∙Mij, где Mij – минор элемента аij.

Пример 5. А12 = − а21 – алгебраическое дополнение элемента а12 определителя второго порядка.

Пример 6.

– алгебраическое дополнение элемента а23 определителя третьего порядка.

§ 3. Свойства определителей

Свойство 1. (о разложении определителя по элементам строки или столбца). Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки:

Сравнивая с результатом применения правила Саррюса (определение 18) видим их полное совпадение.

Свойство 2. (об определителе транспонированной матрицы). При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т. е.

det A = det AT.

Пример 7.

Свойство 3. (об умножении определителя на число). Общий множитель элементов какого-либо столбца или какой-либо строки можно вынести за знак определителя.

Например,

.

Другими словами, если определитель умножается на число, то умножаются на это число все элементы какой-нибудь строки или какого-нибудь столбца.

Свойство 4. (об определителе с нулевой строкой или нулевым столбцом). Определитель, у которого все элементы какой-нибудь строки или какого-нибудь столбца равны нулю, равен нулю.

Свойство 5. (о взаимной перестановке двух столбцов (строк)). Если в определителе поменять местами две любые строки (столбца), то знак определителя изменится.

Свойство 6. (о нулевом определителе). Если в определителе элементы какой-либо строки (столбца) равны или пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 7. Если в определителе элементы какой-нибудь строки (столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то он может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей, например:

.

Свойство 8. (о тождественном преобразовании определителя). Если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Свойство 9. (о нулевом разложении определителя). Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю. Например,

а11 ∙А12 + а21 ∙А22 + а31 ∙А32 = 0.

Свойство 10. (об определителе произведения матриц). Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е. если А и В квадратные матрицы одного порядка, то |A∙B| = |A|∙|B|.

Аналогично можно ввести определители четвертого, пятого,…, n-порядков, их миноры и алгебраические дополнения и показать, что они обладают рассмотренными выше свойствами.

Сводная таблица основных методов решения определителей

 Скачать реферат